ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 706 Алимов — Подробные Ответы

1. у = sin х + cos x;
2. у = sin x + tg x.

$y = \sin x + \cos x$;
$y(x + T) = y(x)$;
$\sin(x + T) + \cos(x + T) = \sin x + \cos x$;
$T = 2\pi$;
Ответ: $2\pi$.

2) $y = \sin x + \tan x$;
$y(x + T) = y(x)$;
$\sin(x + T) + \tan(x + T) = \sin x + \tan x$;
$T = 2\pi$ или $T = \pi$;
Ответ: $2\pi$.

Задача 1: $y = \sin x + \cos x$

Цель: Найти минимальный положительный период $T$, для которого

$$y(x + T) = y(x) \quad \forall x.$$

Шаг 1: Запишем условие периодичности:

$$\sin (x + T) + \cos (x + T) = \sin x + \cos x.$$

Шаг 2: Свойства синуса и косинуса:

• $\sin (x + T) = \sin x$ для $T = 2\pi n$.
• $\cos (x + T) = \cos x$ для $T = 2\pi n$.

Шаг 3: Для обеих функций период $2\pi$ совпадает, значит

$$T = 2\pi n.$$

Шаг 4: Минимальный положительный период — это

$$T = 2\pi.$$

Проверка: Подставим $T=2\pi$:

$$\sin (x + 2\pi) + \cos (x + 2\pi) = \sin x + \cos x,$$

поскольку синус и косинус периодичны с периодом $2\pi$.

Ответ: $T = 2\pi$.

Задача 2: $y = \sin x + \tan x$

Шаг 1: Запишем условие периодичности:

$$\sin (x + T) + \tan (x + T) = \sin x + \tan x.$$

Шаг 2: Рассмотрим периоды составляющих:

• $\sin x$ — период $2\pi$.
• $\tan x$ — период $\pi$.

Шаг 3: Для суммы функций период должен быть общим кратным периодов, при котором

$$y(x + T) = y(x).$$

Шаг 4: Наименьшим общим кратным периодов $2\pi$ и $\pi$ является $2\pi$.

Шаг 5: Проверяем $T = 2\pi$:

$$\sin (x + 2\pi) = \sin x, \quad \tan (x + 2\pi) = \tan x,$$

поэтому

$$y(x + 2\pi) = y(x).$$

Шаг 6: Проверяем $T = \pi$:

$$\sin (x + \pi) = -\sin x, \quad \tan (x + \pi) = \tan x,$$

следовательно,

$$y(x + \pi) = -\sin x + \tan x \neq y(x).$$

Вывод: период функции $y = \sin x + \tan x$ равен $2\pi$.

Ответ: $T = 2\pi$.