ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1382 Алимов — Подробные Ответы

1. 5+sin2x=5(sinx+cosx);
2. 2+2cosx=3sincosx+2sinx.

1) $5 + \sin 2x = 5(\sin x + \cos x)$;

$4 + \cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x — 5(\sin x + \cos x) = 0$;

$4 + (\sin x + \cos x)^2 — 5(\sin x + \cos x) = 0$;

Пусть $y = \sin x + \cos x$, тогда:

$y^2 — 5y + 4 = 0$;

$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9$, тогда:

$y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$;

Первое уравнение:

$\sin x + \cos x = 1 \quad | : \sqrt{2}$;

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;

$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n + \frac{\pi}{4} = 2\pi n$;

$x_2 = +\frac{\pi}{4} + 2\pi n + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Второе уравнение:

$\sin x + \cos x = 4$ — корней нет;

Ответ: $2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

2) $2 + 2 \cos x = 3 \sin x \cdot \cos x + 2 \sin x$;

$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} (\cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x) + 2 (\cos x — \sin x) = 0 \quad | \cdot 2$;

$1 + 3 (\cos x — \sin x)^2 + 4 (\cos x — \sin x) = 0$;

Пусть $y = \cos x — \sin x$, тогда:

$3y^2 + 4y + 1 = 0$;

$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:

$y_1 = \frac{-4 — 2}{2 \cdot 3} = -1$ и $y_2 = \frac{-4 + 2}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}$;

Первое уравнение:

$\cos x — \sin x = -1 \quad | : \sqrt{2}$;

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\cos \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$\frac{\pi}{4} + x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$;

$x_1 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n — \frac{\pi}{4} = -\pi + 2\pi n = \pi + 2\pi n$;

$x_2 = +\frac{3\pi}{4} + 2\pi n — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Второе уравнение:

$\cos x — \sin x = -\frac{1}{3} \quad | : \sqrt{2}$;

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = -\frac{1}{3\sqrt{2}}$;

$\sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x — \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x = -\frac{1}{3\sqrt{2}}$;

$\sin \left( \frac{\pi}{4} — x \right) = -\frac{1}{3\sqrt{2}}$;

$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{3\sqrt{2}}$;

$x — \frac{\pi}{4} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3\sqrt{2}} + \pi n$;

$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3\sqrt{2}} + \pi n$;

Ответ: $\pi + 2\pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{\pi}{4} + (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3\sqrt{2}} + \pi n$.

Часть 1

Уравнение:

$$5 + \sin 2x = 5(\sin x + \cos x)$$

1. Преобразование первого уравнения.

Для начала используем тригонометрическое тождество для $\sin 2x$:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$5 + 2 \sin x \cos x = 5 (\sin x + \cos x).$$

Теперь перенесем все выражения на одну сторону:

$$5 + 2 \sin x \cos x — 5 (\sin x + \cos x) = 0.$$

2. Преобразование второго уравнения.

Используем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, чтобы упростить выражения:

$$4 + \cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x — 5 (\sin x + \cos x) = 0,$$ $$4 + 1 + 2 \sin x \cos x — 5 (\sin x + \cos x) = 0,$$ $$5 + 2 \sin x \cos x — 5 (\sin x + \cos x) = 0.$$

Мы видим, что это точно тот же вид уравнения, что мы получили в предыдущем шаге.

3. Упростим через замены.

Теперь воспользуемся заменой $y = \sin x + \cos x$. Тогда:

$$y^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + 2 \sin x \cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$y^2 — 5y + 4 = 0.$$

4. Решение квадратного уравнения.

Теперь решаем квадратное уравнение:

$$y^2 — 5y + 4 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9.$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4.$$

5. Рассмотрим два случая.

Первый случай: $y = 1$

$$\sin x + \cos x = 1.$$

Делим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Используем формулу для $\sin (A + B)$:

$$\sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2},$$ $$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Теперь решаем:

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Таким образом, получаем два решения:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n + \frac{\pi}{4} = 2\pi n,$$ $$x_2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Второй случай: $y = 4$

$$\sin x + \cos x = 4.$$

Это невозможное решение, так как $\sin x + \cos x$ не может быть больше 2. Следовательно, корней в этом случае нет.

Ответ для части 1:

$$x = 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Часть 2

Уравнение:

$$2 + 2 \cos x = 3 \sin x \cdot \cos x + 2 \sin x.$$

1. Преобразование уравнения.

Переносим все на одну сторону:

$$2 + 2 \cos x — 3 \sin x \cos x — 2 \sin x = 0.$$

Разделим на 2:

$$1 + \cos x — \frac{3}{2} \sin x \cos x — \sin x = 0.$$

Используем тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, чтобы упростить:

$$\frac{1}{2} + \frac{3}{2} (\cos^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x) + 2 (\cos x — \sin x) = 0.$$

Упрощаем и получаем:

$$1 + 3 (\cos x — \sin x)^2 + 4 (\cos x — \sin x) = 0.$$

2. Замена переменной.

Теперь введем замену $y = \cos x — \sin x$, и получаем квадратное уравнение:

$$3y^2 + 4y + 1 = 0.$$

3. Решение квадратного уравнения.

Вычислим дискриминант:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 — 12 = 4.$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{-4 — 2}{2 \cdot 3} = -1, \quad y_2 = \frac{-4 + 2}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}.$$

4. Рассмотрим два случая.

Первый случай: $y = -1$

$$\cos x — \sin x = -1.$$

Делим на $\sqrt{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Используем формулу для $\cos (A + B)$:

$$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2},$$ $$\cos \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Решаем:

$$\frac{\pi}{4} + x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Получаем:

$$x_1 = -\pi + 2\pi n, \quad x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Второй случай: $y = -\frac{1}{3}$

$$\cos x — \sin x = -\frac{1}{3}.$$

Делим на $\sqrt{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = -\frac{1}{3\sqrt{2}}.$$

Используем формулу для $\sin (A — B)$:

$$\sin \left( \frac{\pi}{4} — x \right) = -\frac{1}{3\sqrt{2}},$$ $$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{3\sqrt{2}}.$$

Решаем:

$$x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3\sqrt{2}} + \pi n.$$

Ответ для части 2:

$$x = \pi + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = \frac{\pi}{4} + (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{3\sqrt{2}} + \pi n.$$