ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 588 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить числа:

1. arcsin1/4 и arcsin(-1/4);
2. arcsin(-3/4) и arcsin(-1)

$\arcsin \frac{1}{4} > \arcsin \left(-\frac{1}{4}\right)$;

$$\arcsin \left(-\frac{1}{4}\right) = -\arcsin \frac{1}{4} < 0;$$ $$\arcsin \frac{1}{4} > 0 > -\arcsin \frac{1}{4};$$

$\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right) > \arcsin (-1)$;

$$\frac{3}{4} < 1;$$ $$\arcsin \frac{3}{4} < \arcsin 1;$$ $$-\arcsin \frac{3}{4} > \arcsin 1;$$ $$\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right) > \arcsin (-1);$$

Задача 1:

Утверждение:

$$\arcsin \frac{1}{4} > \arcsin \left(-\frac{1}{4}\right)$$

Решение:

Начнем с того, что функция $\arcsin x$ является монотонно возрастающей на интервале $[-1, 1]$. То есть, если $x_1 > x_2$, то $\arcsin(x_1) > \arcsin(x_2)$, и наоборот.

Из этого следует, что:

$$\arcsin \frac{1}{4} > \arcsin \left(-\frac{1}{4}\right)$$

так как $\frac{1}{4} > -\frac{1}{4}$.

Теперь докажем это более детально.

• $\arcsin \left(-\frac{1}{4}\right)$ — это угол, синус которого равен $-\frac{1}{4}$.
• С учетом того, что синус отрицателен, угол $\arcsin \left(-\frac{1}{4}\right)$ будет лежать в третьей или четвертой четверти (поскольку арксинус ограничен интервалом $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то угол будет в четвертой четверти).
• Мы знаем, что $\arcsin \left(-\frac{1}{4}\right) = -\arcsin \frac{1}{4}$, так как арксинус функции является нечетной (т.е. $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$).

Поэтому:

$$\arcsin \left(-\frac{1}{4}\right) = -\arcsin \frac{1}{4}$$

и, так как $\arcsin \frac{1}{4} > 0$ (так как $\frac{1}{4} > 0$), мы имеем:

$$\arcsin \frac{1}{4} > 0 > -\arcsin \frac{1}{4}.$$

Задача 2:

Утверждение:

$$\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right) > \arcsin (-1)$$

Решение:

Здесь нам нужно сравнить значения $\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right)$ и $\arcsin (-1)$.

Для этого сначала найдем, чему равны $\arcsin (-1)$ и $\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right)$:

• $\arcsin (-1)$ — это угол, синус которого равен $-1$. Поскольку $\arcsin(x)$ на интервале $[-1, 1]$ имеет диапазон значений $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то:

$$\arcsin (-1) = -\frac{\pi}{2}.$$

• Для $\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right)$ синус угла равен $-\frac{3}{4}$, и этот угол также лежит в пределах $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, но он больше, чем $-\frac{\pi}{2}$. Таким образом:

$$\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right) > \arcsin (-1).$$

В процессе вычислений нужно учитывать, что:

$$\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right) = -\arcsin \frac{3}{4}.$$

Мы также знаем, что $\arcsin \frac{3}{4} < \arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$, что означает:

$$-\arcsin \frac{3}{4} > -\frac{\pi}{2}.$$

Таким образом:

$$\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right) > \arcsin (-1).$$

Ответ:

1. $\arcsin \frac{1}{4} > \arcsin \left(-\frac{1}{4}\right)$.
2. $\arcsin \left(-\frac{3}{4}\right) > \arcsin (-1)$.