ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 968 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки экстремума функции:

1. y=xlnx;
2. y=xex;
3. y=25/(7-x) — 9/(3-x).

1) $y = x \cdot \ln x$

$$y'(x) = (x)’ \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)’ = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1;$$

Промежуток возрастания:

$$\ln x + 1 > 0;$$ $$\ln x > -1;$$ $$\ln x > \ln e^{-1}, \text{отсюда } x > \frac{1}{e};$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0;$$

Ответ: $x = \frac{1}{e}$ — точка минимума.

2) $y = x \cdot e^x$

$$y'(x) = (x)’ \cdot e^x + x \cdot (e^x)’ = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x \cdot (1 + x);$$

Промежуток возрастания:

$$1 + x > 0, \text{отсюда } x > -1;$$

Ответ: $x = -1$ — точка минимума.

3) $y = \frac{25}{7-x} — \frac{9}{3-x}$

$$y'(x) = 25 \cdot (-1) \cdot (7-x)^{-2} — 9 \cdot (-1) \cdot (3-x)^{-2};$$ $$y'(x) = \frac{25}{(7-x)^2} — \frac{9}{(3-x)^2} = \frac{25(9-6x+x^2) — 9(49-14x+x^2)}{(7-x)^2 \cdot (3-x)^2};$$ $$y'(x) = \frac{225 — 150x + 25x^2 — 441 + 126x — 9x^2}{(7-x)^2 \cdot (3-x)^2} = \frac{16x^2 — 24x — 216}{(7-x)^2 \cdot (3-x)^2};$$

Промежуток возрастания:

$$16x^2 — 24x — 216 > 0;$$ $$2x^2 — 3x — 27 > 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 27 = 9 + 216 = 225 = 15^2, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{3 — 15}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4.5;$$ $$(x+3)(x-4.5) > 0;$$ $$x < -3 \quad \text{или} \quad x > 4.5;$$

Ответ: $x = -3$ — точка максимума;
$x = 4.5$ — точка минимума.

1) $y = x \cdot \ln x$

Шаг 1: Находим производную функции

Используем правило дифференцирования произведения для функции $y = x \cdot \ln x$, где:

• $u(x) = x$,
• $v(x) = \ln x$.

Производная произведения:

$$y'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x).$$

Теперь находим производные каждого из множителей:

• $u'(x) = 1$,
• $v'(x) = \frac{1}{x}$ (производная логарифма).

Подставляем в формулу для производной:

$$y'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1.$$

Шаг 2: Находим промежуток возрастания

Функция будет возрастать, когда её производная положительна:

$$y'(x) > 0.$$

Подставляем выражение для производной:

$$\ln x + 1 > 0.$$

Решим это неравенство:

$$\ln x > -1.$$

Теперь извлекаем логарифм:

$$x > e^{-1}.$$

Итак, функция возрастает при $x > \frac{1}{e}$.

Шаг 3: Область определения функции

Логарифм $\ln x$ определён только для $x > 0$. Таким образом, область определения функции: $x > 0$.

Шаг 4: Анализ экстремума

Для нахождения точки экстремума при $y'(x) = 0$:

$$\ln x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \ln x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{e}.$$

Ответ: Точка минимума находится при $x = \frac{1}{e}$.

2) $y = x \cdot e^x$

Шаг 1: Находим производную функции

Здесь мы применяем правило дифференцирования произведения для функции $y = x \cdot e^x$, где:

• $u(x) = x$,
• $v(x) = e^x$.

Производная произведения:

$$y'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x).$$

Теперь находим производные каждого из множителей:

• $u'(x) = 1$,
• $v'(x) = e^x$.

Подставляем в формулу для производной:

$$y'(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1 + x).$$

Шаг 2: Находим промежуток возрастания

Функция будет возрастать, когда её производная положительна:

$$y'(x) > 0.$$

Подставляем выражение для производной:

$$e^x (1 + x) > 0.$$

Поскольку $e^x > 0$ для всех $x$, неравенство зависит от $(1 + x) > 0$:

$$1 + x > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -1.$$

Итак, функция возрастает при $x > -1$.

Шаг 3: Анализ экстремума

Для нахождения точки экстремума при $y'(x) = 0$:

$$e^x (1 + x) = 0.$$

Поскольку $e^x \neq 0$ для всех $x$, остаётся:

$$1 + x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1.$$

Ответ: Точка минимума находится при $x = -1$.

3) $y = \frac{25}{7-x} — \frac{9}{3-x}$

Шаг 1: Находим производную функции

Для этой функции будем использовать правило дифференцирования дроби. Запишем производную каждого слагаемого отдельно:

$$y'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{25}{7 — x} \right) — \frac{d}{dx} \left( \frac{9}{3 — x} \right).$$

Используя правило дифференцирования для дробей $\frac{1}{u(x)}$, получаем:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{7 — x} \right) = \frac{-1}{(7 — x)^2} \quad \text{и} \quad \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3 — x} \right) = \frac{-1}{(3 — x)^2}.$$

Теперь подставим эти производные:

$$y'(x) = 25 \cdot (-1) \cdot (7 — x)^{-2} — 9 \cdot (-1) \cdot (3 — x)^{-2} = \frac{-25}{(7 — x)^2} + \frac{9}{(3 — x)^2}.$$

Шаг 2: Упрощаем производную

Запишем производную в одном знаменателе:

$$y'(x) = \frac{25}{(7 — x)^2} — \frac{9}{(3 — x)^2}.$$

Теперь упростим числитель:

$$y'(x) = \frac{25(9 — 6x + x^2) — 9(49 — 14x + x^2)}{(7 — x)^2 \cdot (3 — x)^2}.$$

Раскрываем скобки в числителе:

$$y'(x) = \frac{225 — 150x + 25x^2 — 441 + 126x — 9x^2}{(7 — x)^2 \cdot (3 — x)^2} = \frac{16x^2 — 24x — 216}{(7 — x)^2 \cdot (3 — x)^2}.$$

Шаг 3: Находим промежуток возрастания

Функция будет возрастать, когда её производная положительна:

$$y'(x) > 0.$$

Для этого нужно решить неравенство:

$$16x^2 — 24x — 216 > 0.$$

Упростим его:

$$2x^2 — 3x — 27 > 0.$$

Шаг 4: Находим корни квадратного уравнения

Вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225 = 15^2.$$

Теперь найдём корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-(-3) — 15}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3, \quad x_2 = \frac{-(-3) + 15}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4.5.$$

Таким образом, неравенство примет вид:

$$(x + 3)(x — 4.5) > 0.$$

Решаем это неравенство:

$$x < -3 \quad \text{или} \quad x > 4.5.$$

Шаг 5: Анализ экстремума

Точки экстремума:

• $x = -3$ — точка максимума,
• $x = 4.5$ — точка минимума.

Ответ:

1. $x = \frac{1}{e}$ — точка минимума.
2. $x = -1$ — точка минимума.
3. $x = -3$ — точка максимума; $x = 4.5$ — точка минимума.