ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 826 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, при каких значениях х производная функции принимает отрицательные значения:

1. у = (5 — Зх)4 (3х — 1)3;
2. у = (2х — З)2 (3 — 2х)3;
3. y=(3×2-1)/(1-2x);
4. y=3×2/(1-3x).

1) $y = (5 — 3x)^4 \cdot (3x — 1)^3$

• Производная:

  $$y’ = (5 — 3x)^4 \cdot (3x — 1)^3$$ $$y’ = (5 — 3x)^4 \cdot (3x — 1)^3 + (5 — 3x)^4 \cdot (3x — 1)^3$$ $$y’ = 4 \cdot (-3) \cdot (5 — 3x)^3 \cdot (3x — 1)^3 + (5 — 3x)^4 \cdot 3 \cdot 3(3x — 1)^2$$ $$y’ = -12(5 — 3x)^3 \cdot (3x — 1)^3 + 9(5 — 3x)^4 \cdot (3x — 1)^2$$ $$y’ = 3(5 — 3x)^3 \cdot (3x — 1)^2 \cdot \left( -4(3x — 1) + 3(5 — 3x) \right)$$ $$y’ = 3(5 — 3x)^3 \cdot (3x — 1)^2 \cdot \left( -12x + 4 + 15 — 9x \right)$$ $$y’ = 3(5 — 3x)^3 \cdot (3x — 1)^2 \cdot (19 — 21x)$$

• Производная отрицательна при:

  $$(5 — 3x)(19 — 21x) < 0$$ $$(21x — 19)(3x — 5) < 0$$ $$\frac{19}{21} < x < \frac{5}{3}$$

• Ответ:

  $$x \in \left( \frac{19}{21}, \frac{5}{3} \right)$$

2) $y = (2x — 3)^2 \cdot (3 — 2x)^3$

• Производная:

  $$y’ = (2x — 3)^2 \cdot (3 — 2x)^3$$ $$y’ = 2 \cdot 2(2x — 3) \cdot (3 — 2x)^3 + (2x — 3)^2 \cdot 3 \cdot (-2) \cdot (3 — 2x)^2$$ $$y’ = 4(2x — 3) \cdot (3 — 2x)^3 — 6(2x — 3)^2 \cdot (3 — 2x)^2$$ $$y’ = -4(2x — 3)^4 — 6(2x — 3)^4$$ $$y’ = -10(2x — 3)^4$$

• Производная отрицательна при:

  $$-10(2x — 3)^4 < 0$$ $$2x — 3 \neq 0, \text{отсюда } x \neq \frac{3}{2}$$

• Ответ:

  $$x \neq 1.5$$

3) $y = \frac{3x^2 — 1}{1 — 2x}$

• Производная:

  $$y’ = \frac{(3x^2 — 1)’ \cdot (1 — 2x) — (3x^2 — 1) \cdot (1 — 2x)’}{(1 — 2x)^2}$$ $$y’ = \frac{3 \cdot 2x \cdot (1 — 2x) — (3x^2 — 1) \cdot (-2)}{(1 — 2x)^2}$$ $$y’ = \frac{6x — 12x^2 + 6x^2 — 2}{(1 — 2x)^2}$$ $$y’ = \frac{-6x^2 + 6x — 2}{(1 — 2x)^2}$$ $$y’ = -2 \cdot \frac{3x^2 — 3x + 1}{(1 — 2x)^2}$$

• Производная отрицательна при:

  $$3x^2 — 3x + 1 > 0$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 3 = 9 — 12 = -3$$ $$a = 3 > 0, \text{значит } x \text{ — любое число}$$

• Выражение имеет смысл при:

  $$1 — 2x \neq 0$$ $$2x \neq 1, \text{отсюда } x \neq 0.5$$

• Ответ:

  $$x \neq 0.5$$

4) $y = \frac{3x^3}{1 — 3x}$

• Производная:

  $$y’ = \frac{(3x^3)’ \cdot (1 — 3x) — 3x^3 \cdot (1 — 3x)’}{(1 — 3x)^2}$$ $$y’ = \frac{3 \cdot 3x^2 \cdot (1 — 3x) — 3x^3 \cdot (-3)}{(1 — 3x)^2}$$ $$y’ = \frac{9x^2 — 27x^3 + 9x^3}{(1 — 3x)^2}$$ $$y’ = \frac{9x^2 — 18x^3}{(1 — 3x)^2}$$ $$y’ = 9x^2 \cdot \frac{1 — 2x}{(1 — 3x)^2}$$

• Производная отрицательна при:

  $$1 — 2x < 0$$ $$-2x < -1$$ $$2x > 1, \text{отсюда } x > 0.5$$

• Выражение имеет смысл при:

  $$1 — 3x \neq 0$$ $$3x \neq 1, \text{отсюда } x \neq \frac{1}{3}$$

• Ответ:

  $$x \in (0.5, +\infty)$$

Задача 1: $y = (5 — 3x)^4 \cdot (3x — 1)^3$

Нам нужно найти производную функции и затем решить неравенство для нахождения интервала, на котором производная отрицательна.

Шаг 1: Находим производную

Для начала применим правило произведения для нахождения производной:

$$y’ = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

где:

• $u(x) = (5 — 3x)^4$
• $v(x) = (3x — 1)^3$

Шаг 2: Находим производные от $u(x)$ и $v(x)$

Производная от $u(x) = (5 — 3x)^4$:

$$u'(x) = 4 \cdot (-3) \cdot (5 — 3x)^3 = -12(5 — 3x)^3$$

Производная от $v(x) = (3x — 1)^3$:

$$v'(x) = 3 \cdot 3 \cdot (3x — 1)^2 = 9(3x — 1)^2$$

Шаг 3: Подставляем в формулу производной

Теперь подставим эти производные в формулу для производной:

$$y’ = -12(5 — 3x)^3 \cdot (3x — 1)^3 + (5 — 3x)^4 \cdot 9(3x — 1)^2$$

Шаг 4: Упрощаем

Вынесем общий множитель:

$$y’ = 3(5 — 3x)^3 \cdot (3x — 1)^2 \cdot \left( -4(3x — 1) + 3(5 — 3x) \right)$$

Шаг 5: Упрощаем выражение в скобках

Раскроем скобки в выражении $-4(3x — 1) + 3(5 — 3x)$:

$$-4(3x — 1) = -12x + 4$$ $$3(5 — 3x) = 15 — 9x$$

Сложим их:

$$-12x + 4 + 15 — 9x = 19 — 21x$$

Таким образом, производная $y’$ примет вид:

$$y’ = 3(5 — 3x)^3 \cdot (3x — 1)^2 \cdot (19 — 21x)$$

Шаг 6: Находим интервал, на котором производная отрицательна

Нам нужно решить неравенство, при котором производная отрицательна:

$$(5 — 3x)(19 — 21x) < 0$$

Для решения этого неравенства разложим его на множители:

$$(21x — 19)(3x — 5) < 0$$

Найдем корни уравнения:

1. $21x — 19 = 0$, отсюда $x = \frac{19}{21}$
2. $3x — 5 = 0$, отсюда $x = \frac{5}{3}$

Таким образом, производная будет отрицательной на интервале:

$$\frac{19}{21} < x < \frac{5}{3}$$

Ответ:

$$x \in \left( \frac{19}{21}, \frac{5}{3} \right)$$

Задача 2: $y = (2x — 3)^2 \cdot (3 — 2x)^3$

Нам нужно найти производную этой функции и определить, при каких значениях $x$ она отрицательна.

Шаг 1: Находим производную

Для нахождения производной используем правило произведения:

$$y’ = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

где:

• $u(x) = (2x — 3)^2$
• $v(x) = (3 — 2x)^3$

Шаг 2: Находим производные от $u(x)$ и $v(x)$

Производная от $u(x) = (2x — 3)^2$:

$$u'(x) = 2 \cdot 2(2x — 3) = 4(2x — 3)$$

Производная от $v(x) = (3 — 2x)^3$:

$$v'(x) = 3 \cdot (-2) \cdot (3 — 2x)^2 = -6(3 — 2x)^2$$

Шаг 3: Подставляем в формулу для производной

Подставим эти выражения в формулу для производной:

$$y’ = 4(2x — 3) \cdot (3 — 2x)^3 — 6(2x — 3)^2 \cdot (3 — 2x)^2$$

Шаг 4: Упрощаем производную

Вынесем общий множитель:

$$y’ = -10(2x — 3)^4$$

Шаг 5: Находим, при каких значениях $x$ производная отрицательна

Производная будет отрицательной при $(2x — 3)^4 > 0$, что всегда выполняется, за исключением $x = \frac{3}{2}$. То есть, производная всегда отрицательна, кроме точки $x = 1.5$.

Ответ:

$$x \neq 1.5$$

Задача 3: $y = \frac{3x^2 — 1}{1 — 2x}$

Нам нужно найти производную функции и определить, при каких значениях $x$ она отрицательна.

Шаг 1: Находим производную

Используем правило дифференцирования дроби:

$$y’ = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$

где:

• $u(x) = 3x^2 — 1$
• $v(x) = 1 — 2x$

Шаг 2: Находим производные от $u(x)$ и $v(x)$

Производная от $u(x) = 3x^2 — 1$:

$$u'(x) = 6x$$

Производная от $v(x) = 1 — 2x$:

$$v'(x) = -2$$

Шаг 3: Подставляем в формулу для производной

Подставим эти выражения в формулу для производной:

$$y’ = \frac{6x \cdot (1 — 2x) — (3x^2 — 1) \cdot (-2)}{(1 — 2x)^2}$$

Упрощаем числитель:

$$y’ = \frac{6x — 12x^2 + 6x^2 — 2}{(1 — 2x)^2}$$ $$y’ = \frac{-6x^2 + 6x — 2}{(1 — 2x)^2}$$ $$y’ = -2 \cdot \frac{3x^2 — 3x + 1}{(1 — 2x)^2}$$

Шаг 4: Находим, при каких значениях $x$ производная отрицательна

Производная отрицательна, если:

$$3x^2 — 3x + 1 > 0$$

Посчитаем дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 — 12 = -3$$

Поскольку дискриминант отрицателен, квадратное уравнение не имеет действительных корней, следовательно, $3x^2 — 3x + 1 > 0$ для всех $x$.

Шаг 5: Проверка на определенность

Выражение имеет смысл при:

$$1 — 2x \neq 0$$ $$x \neq \frac{1}{2}$$

Ответ:

$$x \neq 0.5$$

Задача 4: $y = \frac{3x^3}{1 — 3x}$

Шаг 1: Находим производную

Используем правило дифференцирования дроби:

$$y’ = \frac{u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$

где:

• $u(x) = 3x^3$
• $v(x) = 1 — 3x$

Шаг 2: Находим производные от $u(x)$ и $v(x)$

Производная от $u(x) = 3x^3$:

$$u'(x) = 9x^2$$

Производная от $v(x) = 1 — 3x$:

$$v'(x) = -3$$

Шаг 3: Подставляем в формулу для производной

Подставляем эти выражения в формулу для производной:

$$y’ = \frac{9x^2 \cdot (1 — 3x) — 3x^3 \cdot (-3)}{(1 — 3x)^2}$$

Упрощаем:

$$y’ = \frac{9x^2 — 27x^3 + 9x^3}{(1 — 3x)^2}$$ $$y’ = \frac{9x^2 — 18x^3}{(1 — 3x)^2}$$ $$y’ = 9x^2 \cdot \frac{1 — 2x}{(1 — 3x)^2}$$

Шаг 4: Находим, при каких значениях $x$ производная отрицательна

Производная отрицательна, если:

$$1 — 2x < 0$$ $$2x > 1$$ $$x > 0.5$$

Шаг 5: Проверка на определенность

Выражение имеет смысл при:

$$1 — 3x \neq 0$$ $$x \neq \frac{1}{3}$$

Ответ:

$$x \in (0.5, +\infty)$$

Итоговые ответы:

1. $x \in \left( \frac{19}{21}, \frac{5}{3} \right)$
2. $x \neq 1.5$
3. $x \neq 0.5$
4. $x \in (0.5, +\infty)$