ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1034 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить интеграл:

1. интеграл (-1;2) 2dx;
2. интеграл (-2;2) (3-x)dx;
3. интеграл (1;3) (x2-2x)dx;
4. интеграл (-1;1) (2x-3×2)dx;
5. интеграл (1;8) корень 3 степени x dx;
6. интеграл (1;2) dx/x3;
7. интеграл (-пи/2;пи/2) cosxdx.

1. $\int_{-1}^{2} 2 \, dx = \left( 2 \cdot \frac{x^1}{1} \right) \bigg|_{-1}^{2} = 2x \bigg|_{-1}^{2} = 2 \cdot 2 — 2 \cdot (-1) = 4 + 2 = 6$;
2. $\int_{-2}^{2} (3 — x) \, dx = \left( 3 \cdot \frac{x^1}{1} — \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{-2}^{2} = \left( 3x — \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{-2}^{2} =$
   $= 3 \cdot 2 — \frac{2^2}{2} — 3 \cdot (-2) + \frac{(-2)^2}{2} = 6 — 2 + 6 + 2 = 12$;
3. $\int_{1}^{3} (x^2 — 2x) \, dx = \left( \frac{x^3}{3} — 2 \cdot \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{1}^{3} = \left( \frac{x^3}{3} — x^2 \right) \bigg|_{1}^{3} =$
   $= \frac{3^3}{3} — 3^2 — \frac{1^3}{3} + 1^2 = 9 — 9 — \frac{1}{3} + 1 = 1 — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$;
4. $\int_{-1}^{1} (2x — 3x^2) \, dx = \left( 2 \cdot \frac{x^2}{2} — 3 \cdot \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-1}^{1} = \left( x^2 — x^3 \right) \bigg|_{-1}^{1} =$
   $= 1^2 — 1^3 — (-1)^2 + (-1)^3 = 1 — 1 — 1 — 1 = -2$;
5. $\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} \, dx = \int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} \, dx = \left( \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} \right) \bigg|_{1}^{8} = \left( \frac{3}{4} \cdot x^{\frac{4}{3}} \right) \bigg|_{1}^{8} =$
   $= \frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}} — \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}} = \frac{24}{4} \cdot 2 — \frac{3}{4} = \frac{45}{4} = 11 \frac{1}{4}$;
6. $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} \, dx = \int_{1}^{2} x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} \bigg|_{1}^{2} = -\frac{1}{2x^2} \bigg|_{1}^{2} =$
   $= -\frac{1}{2 \cdot 2^2} + \frac{1}{2 \cdot 1^2} = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} + \frac{4}{8} = \frac{3}{8}$;
7. $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \sin x \bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} — \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) =$
   $= \sin \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2} = 2 \sin \frac{\pi}{2} = 2 \cdot 1 = 2$

1)

$$\int_{-1}^{2} 2 \, dx$$

Шаг 1: $2$ — это постоянная, интеграл от постоянной $a$ по переменной $x$ равен $ax + C$ (если неопределённый) или $ax \big|_a^b$ (если определённый).

$$\int 2 \, dx = 2x$$

Шаг 2: Подставляем пределы:

$$2x \big|_{-1}^{2} = 2 \cdot 2 — 2 \cdot (-1) = 4 + 2 = \boxed{6}$$

2)

$$\int_{-2}^{2} (3 — x) \, dx$$

Шаг 1: Интегрируем по частям:

• $\int 3 \, dx = 3x$
• $\int -x \, dx = -\frac{x^2}{2}$

Итого:

$$\int (3 — x) \, dx = 3x — \frac{x^2}{2}$$

Шаг 2: Подставляем пределы:

$$\left(3x — \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{-2}^{2} = \left( 3 \cdot 2 — \frac{2^2}{2} \right) — \left( 3 \cdot (-2) — \frac{(-2)^2}{2} \right) = (6 — 2) — (-6 — 2) = 4 — (-8) = \boxed{12}$$

3)

$$\int_{1}^{3} (x^2 — 2x) \, dx$$

Шаг 1: Интегрируем:

• $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$
• $\int -2x \, dx = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2$

Итого:

$$\int (x^2 — 2x) \, dx = \frac{x^3}{3} — x^2$$

Шаг 2: Подставляем пределы:

$$\left( \frac{x^3}{3} — x^2 \right) \bigg|_{1}^{3} = \left( \frac{27}{3} — 9 \right) — \left( \frac{1}{3} — 1 \right) = (9 — 9) — \left( \frac{1}{3} — 1 \right) = 0 — (-\frac{2}{3}) = \boxed{\frac{2}{3}}$$

4)

$$\int_{-1}^{1} (2x — 3x^2) \, dx$$

Шаг 1: Интегрируем:

• $\int 2x \, dx = x^2$
• $\int -3x^2 \, dx = -x^3$

Итого:

$$\int (2x — 3x^2) \, dx = x^2 — x^3$$

Шаг 2: Подставляем пределы:

$$(x^2 — x^3) \big|_{-1}^{1} = \left(1 — 1\right) — \left(1 — (-1)\right) = 0 — (1 — (-1)) = 0 — (1 + 1) = \boxed{-2}$$

5)

$$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} \, dx = \int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} \, dx$$

Шаг 1: Применим правило степени:

$$\int x^{\frac{1}{3}} \, dx = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$$

Шаг 2: Подставляем пределы:

$$\frac{3}{4} \cdot \left(8^{\frac{4}{3}} — 1^{\frac{4}{3}} \right)$$

Вспомним, что:

$$8^{\frac{1}{3}} = 2 \Rightarrow 8^{\frac{4}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^4 = 2^4 = 16$$

Тогда:

$$\frac{3}{4} \cdot (16 — 1) = \frac{3}{4} \cdot 15 = \boxed{\frac{45}{4} = 11\frac{1}{4}}$$

6)

$$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^3} \, dx = \int_{1}^{2} x^{-3} \, dx$$

Шаг 1: Интегрируем:

$$\int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2x^2}$$

Шаг 2: Подставляем пределы:

$$-\frac{1}{2x^2} \bigg|_{1}^{2} = -\frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{8} + \frac{1}{2} = \frac{-1 + 4}{8} = \boxed{\frac{3}{8}}$$

7)

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$$

Шаг 1: Интеграл от $\cos x$ — это $\sin x$

Шаг 2: Подставляем пределы:

$$\sin x \bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) — \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 1 — (-1) = 1 + 1 = \boxed{2}$$

Все ответы:

1. $\boxed{6}$
2. $\boxed{12}$
3. $\boxed{\frac{2}{3}}$
4. $\boxed{-2}$
5. $\boxed{\frac{45}{4}}$ или $11\frac{1}{4}$
6. $\boxed{\frac{3}{8}}$
7. $\boxed{2}$