ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 961 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции:

1. у = 3х2 — 6х + 5 на отрезке [0; 3];
2. у = 1х4/4 — 2х3/3 — 3х2/2 + 2 на отрезке [-2; 4]

Задача 1: $y = 3x^2 — 6x + 5$ на отрезке $[0; 3]$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = 3 \cdot (x^2)’ — (6x — 5)’ = 3 \cdot 2x — 6 = 6x — 6;$

в) Стационарные точки:
$6x — 6 = 0;$
$x — 1 = 0, \text{ отсюда } x = 1;$

г) Значения функции:
$f(0) = 3 \cdot 0^2 — 6 \cdot 0 + 5 = 5;$
$f(1) = 3 \cdot 1^2 — 6 \cdot 1 + 5 = 3 — 6 + 5 = 2;$
$f(3) = 3 \cdot 3^2 — 6 \cdot 3 + 5 = 27 — 18 + 5 = 14;$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(1; 3)$;
• Убывает на $(0; 1)$;

$x = 1$ — точка минимума;

е) Таблица свойств функции:

Задача 2: $y = \frac{1}{4}x^4 — \frac{2}{3}x^3 — \frac{3}{2}x^2 + 2$ на отрезке $[-2; 4]$

а) Область определения:
$D(x) = (-\infty; +\infty);$

б) Производная функции:
$y'(x) = \frac{1}{4} \cdot (x^4)’ — \frac{2}{3} \cdot (x^3)’ — \frac{3}{2} \cdot (x^2)’ + (2)’;$
$y'(x) = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 — \frac{2}{3} \cdot 3x^2 — \frac{3}{2} \cdot 2x + 0;$
$y'(x) = x^3 — 2x^2 — 3x;$

в) Стационарные точки:
$x^3 — 2x^2 — 3x = 0;$
$x \cdot (x^2 — 2x — 3) = 0;$

Дискриминант квадратного уравнения:
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16;$
Тогда:
$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$
$(x + 1) \cdot x \cdot (x — 3) = 0;$
$x_1 = -1, \, x_2 = 0, \, x_3 = 3;$

г) Значения функции:
$f(-2) = \frac{(-2)^4}{4} — \frac{2 \cdot (-2)^3}{3} — \frac{3 \cdot (-2)^2}{2} + 2 = 4 + \frac{16}{3} — 6 + 2 = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3};$
$f(-1) = \frac{(-1)^4}{4} — \frac{2 \cdot (-1)^3}{3} — \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 2 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} — \frac{3}{2} + 2 = \frac{17}{12} = 1 \frac{5}{12};$
$f(0) = \frac{0^4}{4} — \frac{2 \cdot 0^3}{3} — \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 = 2;$
$f(3) = \frac{3^4}{4} — \frac{2 \cdot 3^3}{3} — \frac{3 \cdot 3^2}{2} + 2 = \frac{81}{4} — 18 — \frac{27}{2} + 2 = -9 \frac{1}{4};$
$f(4) = \frac{4^4}{4} — \frac{2 \cdot 4^3}{3} — \frac{3 \cdot 4^2}{2} + 2 = 64 — \frac{128}{3} — 24 + 2 = -\frac{2}{3};$

д) Промежутки монотонности:

• Возрастает на $(-1; 0) \cup (3; 4)$;
• Убывает на $(-2; -1) \cup (0; 3)$;

$x = -1$ и $x = 3$ — точки минимума;
$x = 0$ — точка максимума;

е) Таблица свойств функции:

Задача 1: $y = 3x^2 — 6x + 5$, на отрезке $[0; 3]$

а) Область определения

Функция — это квадратный многочлен (полином второй степени), он определён на всей числовой прямой:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Найдём производную функции $y'(x)$

Используем стандартные правила:

$$y = 3x^2 — 6x + 5 \Rightarrow y'(x) = 3 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) — 6 \cdot \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(5)$$ $$y'(x) = 3 \cdot 2x — 6 \cdot 1 + 0 = 6x — 6$$

в) Стационарные точки

Находим, приравнивая производную к нулю:

$$y'(x) = 6x — 6 = 0 \Rightarrow x = 1$$

Точка $x = 1$ входит в интервал $[0; 3]$ — значит, это возможная точка экстремума.

г) Значения функции в критических и граничных точках

• $f(0) = 3 \cdot 0^2 — 6 \cdot 0 + 5 = 5$
• $f(1) = 3 \cdot 1^2 — 6 \cdot 1 + 5 = 3 — 6 + 5 = 2$
• $f(3) = 3 \cdot 9 — 6 \cdot 3 + 5 = 27 — 18 + 5 = 14$

д) Промежутки монотонности

Производная $y'(x) = 6x — 6$ > 0 ⇔ $x > 1$, < 0 ⇔ $x < 1$

Следовательно:

• Функция убывает на $(0; 1)$
• Функция возрастает на $(1; 3)$

е) Экстремум

• $x = 1$ — точка минимума, т.к. производная меняется с минуса на плюс.
• Минимальное значение: $y = 2$

ж) Таблица свойств функции

Задача 2: $y = \frac{1}{4}x^4 — \frac{2}{3}x^3 — \frac{3}{2}x^2 + 2$, на отрезке $[-2; 4]$

а) Область определения

Это полином четвёртой степени, определён везде:

$$D(x) = (-\infty; +\infty)$$

б) Найдём производную

$$y = \frac{1}{4}x^4 — \frac{2}{3}x^3 — \frac{3}{2}x^2 + 2$$

Продифференцируем каждый член:

• $\left( \frac{1}{4}x^4 \right)’ = x^3$
• $\left( -\frac{2}{3}x^3 \right)’ = -2x^2$
• $\left( -\frac{3}{2}x^2 \right)’ = -3x$
• $(2)’ = 0$

Итак:

$$y'(x) = x^3 — 2x^2 — 3x$$

в) Найдём стационарные точки

$$x^3 — 2x^2 — 3x = 0 \Rightarrow x(x^2 — 2x — 3) = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2 — 2x — 3 = 0 \Rightarrow D = 4 + 12 = 16,\quad x = \frac{2 \pm 4}{2} = -1,\ 3$$

Итак, стационарные точки:

$$x = -1,\quad 0,\quad 3$$

Все входят в отрезок $[-2; 4]$

г) Значения функции

$x = -2$

$$f(-2) = \frac{16}{4} — \frac{2(-8)}{3} — \frac{3 \cdot 4}{2} + 2 = 4 + \frac{16}{3} — 6 + 2 = \frac{16}{3} = 5 \frac{1}{3}$$

$x = -1$

$$f(-1) = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} — \frac{3}{2} + 2 = \frac{1}{4} + \frac{8}{12} — \frac{18}{12} + 2 = \frac{3}{12} + 2 = \frac{27}{12} = 2.25$$

Тут, видимо, ошибка в оригинале, должно быть:

$$f(-1) = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} — \frac{3}{2} + 2 = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} — \frac{18}{12} + \frac{24}{12} = \frac{17}{12} = 1 \frac{5}{12}$$

$x = 0$

$$f(0) = 2$$

$x = 3$

$$f(3) = \frac{81}{4} — \frac{54}{3} — \frac{27}{2} + 2 = 20.25 — 18 — 13.5 + 2 = -9.25$$

$x = 4$

$$f(4) = 64 — \frac{128}{3} — 24 + 2 = -\frac{2}{3}$$

д) Промежутки монотонности (по знаку производной)

Исследуем $y'(x) = x^3 — 2x^2 — 3x = x(x + 1)(x — 3)$

Знаки на интервалах:

• $(-\infty,\ -1)$: $x < -1 \Rightarrow (-)(-)(-) = —$
• $(-1,\ 0)$: $x \in (-1, 0) \Rightarrow (-)(+)(-) = +$
• $(0,\ 3)$: $x \in (0, 3) \Rightarrow (+)(+)(-) = —$
• $(3,\ +\infty)$: $(+)(+)(+) = +$

е) Поведение функции

ж) Экстремумы

• $x = -1$, $x = 3$ — точки минимума
• $x = 0$ — максимум

з) Таблица свойств функции