ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1271 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить (1271—1276).

1. 2arctg1-3arcsin корень 3/2;
2. 8arccos корень 2/2 + 6 arctg корень 3.

1. $2 \operatorname{arctg} 1 — 3 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} — 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} — \pi = -\frac{\pi}{2}$;
   Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.
2. $8 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \operatorname{arctg} \sqrt{3} = 8 \cdot \frac{\pi}{4} + 6 \cdot \frac{\pi}{3} = 2\pi + 2\pi = 4\pi$;
   Ответ: $4\pi$.

Задача 1:

$$2 \operatorname{arctg} 1 — 3 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$$

1.1 Определение $\operatorname{arctg} 1$

Функция $\operatorname{arctg} x$ — это обратная функция для тангенса. То есть, $\operatorname{arctg} x = y$ означает, что $\tan y = x$ и $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Для $\operatorname{arctg} 1$ ищем угол $y$, для которого $\tan y = 1$. Известно, что $\tan \frac{\pi}{4} = 1$. Следовательно:

$$\operatorname{arctg} 1 = \frac{\pi}{4}$$

1.2 Определение $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$

Функция $\arcsin x$ — это обратная функция для синуса. То есть, $\arcsin x = y$ означает, что $\sin y = x$ и $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.

Для $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$ ищем угол $y$, для которого $\sin y = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Известно, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Следовательно:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$$

1.3 Подстановка значений в выражение

Теперь, подставляем найденные значения в исходное выражение:

$$2 \operatorname{arctg} 1 — 3 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} — 3 \cdot \frac{\pi}{3}$$

Выполняем умножение:

$$= \frac{2\pi}{4} — \frac{3\pi}{3} = \frac{\pi}{2} — \pi$$

1.4 Приведение к общему знаменателю

Чтобы вычесть $\frac{\pi}{2}$ и $\pi$, приводим к общему знаменателю:

$$\frac{\pi}{2} — \pi = \frac{\pi}{2} — \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi — 2\pi}{2} = \frac{-\pi}{2}$$

Ответ:

$$— \frac{\pi}{2}$$

Задача 2:

$$8 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \operatorname{arctg} \sqrt{3}$$

2.1 Определение $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$

Функция $\arccos x$ — это обратная функция для косинуса. То есть, $\arccos x = y$ означает, что $\cos y = x$ и $0 \leq y \leq \pi$.

Для $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$ ищем угол $y$, для которого $\cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Известно, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно:

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$$

2.2 Определение $\operatorname{arctg} \sqrt{3}$

Функция $\operatorname{arctg} x$ — это обратная функция для тангенса. То есть, $\operatorname{arctg} x = y$ означает, что $\tan y = x$ и $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Для $\operatorname{arctg} \sqrt{3}$ ищем угол $y$, для которого $\tan y = \sqrt{3}$. Известно, что $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$. Следовательно:

$$\operatorname{arctg} \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$$

2.3 Подстановка значений в выражение

Теперь, подставляем найденные значения в исходное выражение:

$$8 \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \operatorname{arctg} \sqrt{3} = 8 \cdot \frac{\pi}{4} + 6 \cdot \frac{\pi}{3}$$

Выполняем умножение:

$$= \frac{8\pi}{4} + \frac{6\pi}{3} = 2\pi + 2\pi$$

2.4 Сложение

Теперь складываем:

$$2\pi + 2\pi = 4\pi$$

Ответ:

$$4\pi$$