ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 476 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1. tg(-a)cosa+sina;
2. cosa-ctga*(-sina);
3. ((cos(-a) + sin(-a))/(cos2a — sin2a);
4. tg(-a) ctg(-a) + cosa2(-a) + sin2a.

$\mathrm{1.\; tg}(-a)\cdot \cos a+\sin a=-\mathrm{tg}a\cdot \cos a+\sin a=-\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \cos a+\sin a=$

$=-\sin a+\sin a=0$
Ответ: 0.

$\mathrm{2.\; cos}a-\mathrm{ctg}a\cdot (-\sin a)=\cos a+\mathrm{ctg}a\cdot \sin a=\cos a+\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \sin a=$

$=\cos a+\cos a=2\cos a$
Ответ: $2\cos a$.

3. $\frac{\cos (-a)+\sin (-a)}{{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}=\frac{\cos a-\sin a}{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}=\frac{1}{\cos a+\sin a}$
Ответ: $\frac{1}{\cos a+\sin a}$.

$\mathrm{4.\; tg}(-a)\cdot \mathrm{ctg}(-a)+{\cos }^2(-a)+{\sin }^{2}a=\mathrm{tg}(-a)\cdot \frac{1}{\mathrm{tg}(-a)}+{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=$

$=1+1=2$
Ответ: 2.

1)

$$\mathrm{tg}(-a)\cdot \cos a+\sin a$$

Шаг 1: Используем нечётность тангенса:

$$\mathrm{tg}(-a)=-\mathrm{tg}a$$$$=-\mathrm{tg}a\cdot \cos a+\sin a$$

Шаг 2: Выражаем тангенс через синус и косинус:

$$\mathrm{tg}a=\frac{\sin a}{\cos a}\Rightarrow -\mathrm{tg}a\cdot \cos a=-\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \cos a=-\sin a$$

Шаг 3: Подставляем:

$$-\sin a+\sin a=0$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 0}}$

2)

$$\cos a-\mathrm{ctg}a\cdot (-\sin a)$$

Шаг 1: Минус на минус даёт плюс:

$$=\cos a+\mathrm{ctg}a\cdot \sin a$$

Шаг 2: Выражаем котангенс через синус и косинус:

$$\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}\Rightarrow \mathrm{ctg}a\cdot \sin a=\frac{\cos a}{\sin a}\cdot \sin a=\cos a$$

Шаг 3: Подставляем:

$$\cos a+\cos a=2\cos a$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 2\cos a}}$

3)

$$\frac{\cos (-a)+\sin (-a)}{{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}$$

Шаг 1: Используем чётность и нечётность:

• $\cos (-a)=\cos a$
• $\sin (-a)=-\sin a$

$$=\frac{\cos a-\sin a}{{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}$$

Шаг 2: В знаменателе — формула разности квадратов:

$${\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)$$$$\Rightarrow \frac{\cos a-\sin a}{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}$$

Шаг 3: Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе (если $\cos a\mathrm{\ne }\sin a$):

$$=\frac{1}{\cos a+\sin a}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{\cos a+\sin a}}}$

4)

$$\mathrm{tg}(-a)\cdot \mathrm{ctg}(-a)+{\cos }^2(-a)+{\sin }^{2}a$$

Шаг 1: Используем свойства:

• $\mathrm{tg}(-a)=-\mathrm{tg}a$
• $\mathrm{ctg}(-a)=-\mathrm{ctg}a$
• $\cos (-a)=\cos a$
• ${\cos }^2(-a)={\cos }^{2}a$

$$=(-\mathrm{tg}a)\cdot (-\mathrm{ctg}a)+{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a$$

Шаг 2: Минус на минус даёт плюс:

$$=\mathrm{tg}a\cdot \mathrm{ctg}a+{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a$$

Шаг 3: Выражаем:

$$\mathrm{tg}a=\frac{\sin a}{\cos a},\mathrm{ctg}a=\frac{\cos a}{\sin a}\Rightarrow \mathrm{tg}a\cdot \mathrm{ctg}a=\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \frac{\cos a}{\sin a}=1$$

Шаг 4: Используем основное тригонометрическое тождество:

$${\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=1$$

Шаг 5: Подставляем:

$$1+1=2$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 2}}$