ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1331 Алимов — Подробные Ответы

Решим уравнение:

$$\frac{2}{x^2 — x + 1} — \frac{1}{x + 1} = \frac{2x — 1}{x^3 + 1};$$ $$\frac{2}{x^2 — x + 1} — \frac{1}{x + 1} = \frac{2x — 1}{(x + 1)(x^2 — x + 1)} \quad | \cdot (x + 1)(x^2 — x + 1);$$ $$2(x + 1) — (x^2 — x + 1) = 2x — 1;$$ $$2x + 2 — x^2 + x — 1 — 2x + 1 = 0;$$ $$-x^2 + x + 2 = 0;$$ $$x^2 — x — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

1. $x + 1 \neq 0$, отсюда $x \neq -1$;
2. $x^2 — x + 1 \neq 0$;

$$D = 1^2 — 4 = -3 < 0 \quad \text{— корней нет;}$$

Ответ: $x = 2$.

Уравнение:

$$\frac{2}{x^2 — x + 1} — \frac{1}{x + 1} = \frac{2x — 1}{x^3 + 1}.$$

Шаг 1: Анализ и разложение выражения $x^3 + 1$

Обратим внимание, что в правой части уравнения есть выражение $x^3 + 1$. Это можно разложить как сумму кубов:

$$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 — x + 1).$$

Таким образом, уравнение становится:

$$\frac{2}{x^2 — x + 1} — \frac{1}{x + 1} = \frac{2x — 1}{(x + 1)(x^2 — x + 1)}.$$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Чтобы решить это уравнение, нужно привести все члены к общему знаменателю. Для левой части уравнения это будет произведение $(x + 1)(x^2 — x + 1)$.

Умножим обе части уравнения на $(x + 1)(x^2 — x + 1)$, чтобы избавиться от знаменателей. Важно, что при этом мы предполагаем, что $x \neq -1$ и $x^2 — x + 1 \neq 0$, так как эти выражения не могут быть равны нулю (иначе деление на ноль).

Умножаем каждую часть на $(x + 1)(x^2 — x + 1)$:

$$\left( \frac{2}{x^2 — x + 1} — \frac{1}{x + 1} \right) \cdot (x + 1)(x^2 — x + 1) = \frac{2x — 1}{(x + 1)(x^2 — x + 1)} \cdot (x + 1)(x^2 — x + 1).$$

Левая часть уравнения:

$$2(x + 1) — (x^2 — x + 1).$$

Правая часть уравнения (после умножения на общий знаменатель):

$$2x — 1.$$

Шаг 3: Упростим полученное выражение

Теперь у нас получилось уравнение:

$$2(x + 1) — (x^2 — x + 1) = 2x — 1.$$

Распишем каждое из выражений по частям:

1. $2(x + 1) = 2x + 2$,
2. $-(x^2 — x + 1) = -x^2 + x — 1$.

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

$$2x + 2 — x^2 + x — 1 = 2x — 1.$$

Шаг 4: Упростим и соберем подобные члены

Перепишем уравнение:

$$2x + x — x^2 + 2 — 1 = 2x — 1.$$

Приведем подобные члены:

$$-x^2 + 3x + 1 = 2x — 1.$$

Теперь перенесем все члены в одну сторону, чтобы уравнение стало равным нулю:

$$-x^2 + 3x + 1 — 2x + 1 = 0.$$

Упростим выражение:

$$-x^2 + x + 2 = 0.$$

Шаг 5: Умножим на $-1$, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$$x^2 — x — 2 = 0.$$

Теперь у нас квадратное уравнение.

Шаг 6: Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac.$$

Для уравнения $x^2 — x — 2 = 0$, где $a = 1$, $b = -1$, $c = -2$, дискриминант будет:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.$$

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле:

$$x_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставим значения $a = 1$, $b = -1$, $D = 9$:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1,$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2.$$

Шаг 7: Проверка допустимости корней

Теперь нужно проверить, какие из корней допустимы в исходном уравнении.

1. Условие $x + 1 \neq 0$ требует, чтобы $x \neq -1$.
2. Условие $x^2 — x + 1 \neq 0$ также должно быть выполнено.

Для второго условия проверим дискриминант уравнения $x^2 — x + 1 = 0$:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3.$$

Так как дискриминант отрицателен, у этого уравнения нет действительных корней. Следовательно, $x^2 — x + 1 \neq 0$ для всех действительных $x$.

Таким образом, $x = -1$ исключается как решение, так как при $x = -1$ выражение $\frac{1}{x + 1}$ становится неопределенным.

Шаг 8: Ответ

Единственным решением является $x = 2$.

Ответ: $x = 2$.