ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 465 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество:

1. (1-cosa)(1+cosa) = sin2a;
2. (1-sina)(1+sina) = cos2a;
3. sin2a/(1-sin2a) = tg2a;
4. cos2a/(1-cos2a) = ctg2a;
5. 1/(1+tg2a) + sin2a =1;
6. 1/(1+ctg2a) + cos2a=1.

Доказать тождество:

$(1 — \cos a)(1 + \cos a) = \sin^2 a$;

$1 + \cos a — \cos a — \cos^2 a = \sin^2 a$;

$1 — \cos^2 a = \sin^2 a$;

$\sin^2 a = \sin^2 a$;

Тождество доказано.

$(1 — \sin a)(1 + \sin a) = \cos^2 a$;

$1 + \sin a — \sin a — \sin^2 a = \cos^2 a$;

$1 — \sin^2 a = \cos^2 a$;

$\cos^2 a = \cos^2 a$;

Тождество доказано.

3. $\frac{\sin^2 a}{1 — \sin^2 a} = \tg^2 a$;

$\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \tg^2 a$;

$\left( \frac{\sin a}{\cos a} \right)^2 = \tg^2 a$;

$\tg^2 a = \tg^2 a$;

Тождество доказано.

4. $\frac{\cos^2 a}{1 — \cos^2 a} = \ctg^2 a$;

$\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \ctg^2 a$;

$\left( \frac{\cos a}{\sin a} \right)^2 = \ctg^2 a$;

$\ctg^2 a = \ctg^2 a$;

Тождество доказано.

5. $\frac{1}{1 + \tg^2 a} + \sin^2 a = 1$;

$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$;

$1 = 1$;

Тождество доказано.

6. $\frac{1}{1 + \ctg^2 a} + \cos^2 a = 1$;

$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$;

$1 = 1$;

Тождество доказано.

1)

$$(1 — \cos a)(1 + \cos a) = \sin^2 a$$

Шаг 1: Это разность квадратов:

$$(1 — \cos a)(1 + \cos a) = 1^2 — \cos^2 a = 1 — \cos^2 a$$

Шаг 2: По основному тригонометрическому тождеству:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1 \Rightarrow 1 — \cos^2 a = \sin^2 a$$

Доказано:

$$\sin^2 a = \sin^2 a$$

2)

$$(1 — \sin a)(1 + \sin a) = \cos^2 a$$

Шаг 1: Аналогично, это тоже разность квадратов:

$$1^2 — \sin^2 a = 1 — \sin^2 a$$

Шаг 2: Используем основное тождество:

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a$$

Доказано:

$$\cos^2 a = \cos^2 a$$

3)

$$\frac{\sin^2 a}{1 — \sin^2 a} = \tg^2 a$$

Шаг 1: В знаменателе узнаем:

$$1 — \sin^2 a = \cos^2 a$$

Подставим:

$$\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$$

Шаг 2: Это определение тангенса в квадрате:

$$\left( \frac{\sin a}{\cos a} \right)^2 = \tg^2 a$$

Доказано:

$$\tg^2 a = \tg^2 a$$

4)

$$\frac{\cos^2 a}{1 — \cos^2 a} = \ctg^2 a$$

Шаг 1: В знаменателе:

$$1 — \cos^2 a = \sin^2 a$$

Подставим:

$$\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}$$

Шаг 2: Это определение котангенса в квадрате:

$$\left( \frac{\cos a}{\sin a} \right)^2 = \ctg^2 a$$

Доказано:

$$\ctg^2 a = \ctg^2 a$$

5)

$$\frac{1}{1 + \tg^2 a} + \sin^2 a = 1$$

Шаг 1: Вспомним тождество:

$$1 + \tg^2 a = \frac{1}{\cos^2 a} \Rightarrow \frac{1}{1 + \tg^2 a} = \cos^2 a$$

Шаг 2: Подставим:

$$\cos^2 a + \sin^2 a$$

Шаг 3: По основному тождеству:

$$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

Доказано:

$$1 = 1$$

6)

$$\frac{1}{1 + \ctg^2 a} + \cos^2 a = 1$$

Шаг 1: Аналогичное тождество:

$$1 + \ctg^2 a = \frac{1}{\sin^2 a} \Rightarrow \frac{1}{1 + \ctg^2 a} = \sin^2 a$$

Шаг 2: Подставим:

$$\sin^2 a + \cos^2 a$$

Шаг 3: По основному тождеству:

$$1$$

Доказано:

$$1 = 1$$