ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1270 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение выражения sin 11пи/3 + cos 690° -cos 19пи/3.

Найти значение выражения:

$$\sin \frac{11\pi}{3} + \cos 690^\circ — \cos \frac{19\pi}{3} =$$ $$= \sin \left( 2 \cdot 2\pi — \frac{\pi}{3} \right) + \cos (2 \cdot 360^\circ — 30^\circ) — \cos \left( 3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{3} \right) =$$ $$= \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) + \cos (-30^\circ) — \cos \frac{\pi}{3} = -\sin \frac{\pi}{3} + \cos 30^\circ — \cos \frac{\pi}{3} =$$ $$= \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} = -\frac{1}{2};$$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

Дано:

Нужно найти значение выражения:

$$\sin \frac{11\pi}{3} + \cos 690^\circ — \cos \frac{19\pi}{3}.$$

Шаг 1: Приведение углов к основным значениям (использование периодичности)

Для всех тригонометрических функций, таких как синус и косинус, существует периодичность:

• Период функции $\sin$ и $\cos$ равен $2\pi$ для радиан и $360^\circ$ для градусов.

Используя это, давайте упростим все углы, приводя их к значениям в пределах одного полного оборота:

$\sin \frac{11\pi}{3}$

• Период $\sin x$ равен $2\pi$.
• Для того чтобы привести угол в пределах от $0$ до $2\pi$, нужно вычесть $2\pi$ столько раз, сколько нужно, чтобы угол оказался в нужном интервале:

$$\frac{11\pi}{3} — 2\pi = \frac{11\pi}{3} — \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}.$$

Теперь угол $\frac{5\pi}{3}$ лежит в пределах $[0, 2\pi]$.

Используем следующее тождество:

$$\sin \left( 2\pi — \frac{\pi}{3} \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\sin \frac{\pi}{3}.$$

Мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно:

$$\sin \frac{11\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

$\cos 690^\circ$

• Период функции $\cos x$ равен $360^\circ$.
• Приводим угол $690^\circ$ в пределах от $0^\circ$ до $360^\circ$:

$$690^\circ — 360^\circ = 330^\circ.$$

Теперь вычислим $\cos 330^\circ$. Поскольку $330^\circ = 360^\circ — 30^\circ$, и $\cos$ — это четная функция, то:

$$\cos 330^\circ = \cos (-30^\circ) = \cos 30^\circ.$$

Известно, что:

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно:

$$\cos 690^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

$\cos \frac{19\pi}{3}$

• Период $\cos x$ равен $2\pi$.
• Приводим угол $\frac{19\pi}{3}$ в пределах от $0$ до $2\pi$:

$$\frac{19\pi}{3} — 2\pi \times 3 = \frac{19\pi}{3} — \frac{18\pi}{3} = \frac{\pi}{3}.$$

Теперь вычислим $\cos \frac{\pi}{3}$:

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 2: Подставляем результаты в выражение

Теперь, когда мы упростили все углы, можем подставить результаты в исходное выражение:

$$\sin \frac{11\pi}{3} + \cos 690^\circ — \cos \frac{19\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Выполним арифметические операции

Теперь просто выполняем арифметические операции:

$$-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,$$

и

$$0 — \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}.$$

Ответ:

Значение выражения равно:

$$-\frac{1}{2}.$$