ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 935 Алимов — Подробные Ответы

Построить график функции у =(x3-4)/(x-1)3 Сколько действительных корней имеет уравнение (x3-4)/(x-1)3 = С при различных значениях С?

$$y = \frac{x^3 — 4}{(x-1)^3};$$

1) Область определения:

$$D(x) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty);$$

2) Производная функции:

$$y'(x) = \frac{(x^3 — 4) \cdot (x-1)^3 — (x^3 — 4) \cdot (x-1)^3}{((x-1)^3)^2};$$ $$y'(x) = \frac{3x^2 \cdot (x-1)^3 — (x^3 — 4) \cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6};$$ $$y'(x) = \frac{(x-1)^2 \cdot (3x^2 \cdot (x-1) — 3 \cdot (x^3 — 4))}{(x-1)^6};$$ $$y'(x) = \frac{(x-1)^2 \cdot (3x^3 — 3x^2 — 3x^3 + 12)}{(x-1)^6};$$ $$y'(x) = \frac{12 — 3x^2}{(x-1)^4}.$$

3) Стационарные точки:

$$12 — 3x^2 = 0;$$ $$4 — x^2 = 0;$$ $$(2 + x)(2 — x) = 0;$$ $$x_1 = -2 \text{ и } x_2 = 2;$$

4) Значения функции:

$$f(-2) = \frac{(-2)^3 — 4}{(-2-1)^3} = \frac{-8 — 4}{(-3)^3} = \frac{12}{-27} = \frac{4}{9};$$ $$f(2) = \frac{2^3 — 4}{(2-1)^3} = \frac{8 — 4}{1^3} = 4;$$

5) Промежутки монотонности:

Возрастает на $(-2; 1) \cup (1; 2)$ и убывает на $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$;

$$x = -2 \text{ — точка минимума и } x = 2 \text{ — точка максимума};$$

6) Уравнение горизонтальной асимптоты:

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 — 4}{(x-1)^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 — 4}{x^3 — 3x^2 + 3x — 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 — \frac{4}{x^3}}{1 — \frac{3}{x} + \frac{3}{x^2} — \frac{1}{x^3}};$$ $$y = \frac{1 — 0}{1 — 0 + 0 — 0} = \frac{1}{1} = 1;$$

7) Таблица свойств функции:

Количество решений уравнения $y = \frac{x^3 — 4}{(x-1)^3} = C$:

• При $C < \frac{4}{9}$ или $C > 4$ уравнение имеет одно решение;
• При $C = 1$, $C = 4$ или $C = \frac{4}{9}$ уравнение имеет два решения;
• При $\frac{4}{9} \leq C < 1$ или $1 < C < 4$ уравнение имеет три решения

$$\boxed{935.}$$

Задача: $y = \frac{x^3 — 4}{(x-1)^3}$

1) Область определения

Функция $y = \frac{x^3 — 4}{(x-1)^3}$ представляет собой дробь, в которой в знаменателе находится выражение $(x-1)^3$. Эта функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть когда $x = 1$. Таким образом, область определения функции:

$$D(x) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$$

Ответ:

$$D(x) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$$

2) Производная функции

Для нахождения производной функции $y = \frac{x^3 — 4}{(x-1)^3}$ используем правило дифференцирования дроби, то есть правило частного:

y'(x) = \frac{(x^3 — 4)’ \cdot (x-1)^3 — (x^3 — 4) \cdot (x-1)^3′}{((x-1)^3)^2}

Посмотрим, как мы можем дифференцировать каждую часть:

• Производная от $x^3 — 4$ равна $3x^2$,
• Производная от $(x-1)^3$ равна $3(x-1)^2$ по правилу производной степени.

Теперь подставим эти производные в формулу:

$$y'(x) = \frac{3x^2 \cdot (x-1)^3 — (x^3 — 4) \cdot 3(x-1)^2}{(x-1)^6}$$

Далее можно вынести общий множитель $3(x-1)^2$:

$$y'(x) = \frac{(x-1)^2 \cdot (3x^2 \cdot (x-1) — 3(x^3 — 4))}{(x-1)^6}$$

Теперь упростим числитель:

$$y'(x) = \frac{(x-1)^2 \cdot (3x^3 — 3x^2 — 3x^3 + 12)}{(x-1)^6}$$

Упрощаем:

$$y'(x) = \frac{12 — 3x^2}{(x-1)^4}$$

Ответ:

$$y'(x) = \frac{12 — 3x^2}{(x-1)^4}$$

3) Стационарные точки

Стационарные точки находятся, когда производная $y'(x) = 0$. Это означает, что числитель дроби $12 — 3x^2$ должен быть равен нулю, так как знаменатель не может быть равен нулю для $x \neq 1$.

Решаем уравнение:

$$12 — 3x^2 = 0$$ $$3x^2 = 12$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$

Таким образом, стационарные точки находятся в точках $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.

Ответ:
Стационарные точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 2$

4) Значения функции

Теперь подставим $x = -2$ и $x = 2$ в исходную функцию для нахождения значений функции в этих точках.

Для $x = -2$:

$$f(-2) = \frac{(-2)^3 — 4}{(-2-1)^3} = \frac{-8 — 4}{(-3)^3} = \frac{-12}{-27} = \frac{4}{9}$$

Для $x = 2$:

$$f(2) = \frac{2^3 — 4}{(2-1)^3} = \frac{8 — 4}{1^3} = \frac{4}{1} = 4$$

Ответ:

• $f(-2) = \frac{4}{9}$
• $f(2) = 4$

5) Промежутки монотонности

Для анализа промежутков монотонности исследуем знак производной $y'(x) = \frac{12 — 3x^2}{(x-1)^4}$.

Для $x < -2$:
Подставим $x = -3$:

$$y'(-3) = \frac{12 — 3(-3)^2}{(-3-1)^4} = \frac{12 — 27}{16} = \frac{-15}{16} < 0$$

Это отрицательное значение говорит, что функция убывает на интервале $(-\infty; -2)$.

Для $-2 < x < 1$:
Подставим $x = 0$:

$$y'(0) = \frac{12 — 3(0)^2}{(0-1)^4} = \frac{12}{1} = 12 > 0$$

Это положительное значение говорит, что функция возрастает на интервале $(-2; 1)$.

Для $1 < x < 2$:
Подставим $x = 1.5$:

$$y'(1.5) = \frac{12 — 3(1.5)^2}{(1.5-1)^4} = \frac{12 — 6.75}{0.5^4} = \frac{5.25}{0.0625} > 0$$

Это положительное значение говорит, что функция возрастает на интервале $(1; 2)$.

Для $x > 2$:
Подставим $x = 3$:

$$y'(3) = \frac{12 — 3(3)^2}{(3-1)^4} = \frac{12 — 27}{16} = \frac{-15}{16} < 0$$

Это отрицательное значение говорит, что функция убывает на интервале $(2; +\infty)$.

Ответ:

• Функция возрастает на $(-2; 1) \cup (1; 2)$
• Функция убывает на $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$
• $x = -2$ — точка минимума
• $x = 2$ — точка максимума

6) Уравнение горизонтальной асимптоты

Для нахождения горизонтальной асимптоты нужно вычислить предел функции $y = \frac{x^3 — 4}{(x-1)^3}$ при $x \to \infty$.

Поделим числитель и знаменатель на $x^3$ (старшую степень в числителе):

$$y = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3 — 4}{x^3 — 3x^2 + 3x — 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 — \frac{4}{x^3}}{1 — \frac{3}{x} + \frac{3}{x^2} — \frac{1}{x^3}}$$

При $x \to \infty$ все дробные части $\frac{4}{x^3}, \frac{3}{x}, \frac{3}{x^2}, \frac{1}{x^3}$ стремятся к нулю, и получаем:

$$y = \frac{1 — 0}{1 — 0 + 0 — 0} = \frac{1}{1} = 1$$

Ответ:
Горизонтальная асимптота: $y = 1$

7) Таблица свойств функции

8) Количество решений уравнения

Уравнение $y = \frac{x^3 — 4}{(x-1)^3} = C$ имеет различные количество решений в зависимости от значения $C$:

• При $C < \frac{4}{9}$ или $C > 4$ уравнение имеет одно решение.
• При $C = 1$, $C = 4$ или $C = \frac{4}{9}$ уравнение имеет два решения.
• При $\frac{4}{9} \leq C < 1$ или $1 < C < 4$ уравнение имеет три решения.

$$\boxed{935.}$$