ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 337 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (337—341).

1. log2 (х — 5) + log2 (х + 2) = 3;
2. log3 (x — 2) + log3 (x + 6) = 2;
3. lg (x + корень 3) + lg (x- корень 3) = 0;
4. lg (x — 1) + lg (x + 1) = 0.

$\log_2(x — 5) + \log_2(x + 2) = 3$;

$\log_2((x — 5)(x + 2)) = \log_2 2^3;$
$(x — 5)(x + 2) = 8;$
$x^2 + 2x — 5x — 10 = 8;$
$x^2 — 3x — 18 = 0;$
$D = 3^2 + 4 \cdot 18 = 9 + 72 = 81, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{3 — 9}{2} = -3 \text{ и } x_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6;$

Выражение имеет смысл при:
$x — 5 > 0, \text{отсюда } x > 5;$
$x + 2 > 0, \text{отсюда } x > -2;$

Ответ: $x = 6$.

$\log_3(x — 2) + \log_3(x + 6) = 2$;

$\log_3((x — 2)(x + 6)) = \log_3 3^2;$
$(x — 2)(x + 6) = 9;$
$x^2 + 6x — 2x — 12 = 9;$
$x^2 + 4x — 21 = 0;$
$D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100, \text{тогда:}$
$x_1 = \frac{-4 — 10}{2} = -7 \text{ и } x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 3;$

Выражение имеет смысл при:
$x — 2 > 0, \text{отсюда } x > 2;$
$x + 6 > 0, \text{отсюда } x > -6;$

Ответ: $x = 3$.

$\lg(x + \sqrt{3}) + \lg(x — \sqrt{3}) = 0$;

$\lg((x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3})) = \lg 1;$
$(x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3}) = 1;$
$x^2 — 3 = 1;$
$x^2 = 4, \text{отсюда } x = \pm 2;$

Выражение имеет смысл при:
$x + \sqrt{3} > 0, \text{отсюда } x > -\sqrt{3};$
$x — \sqrt{3} > 0, \text{отсюда } x > \sqrt{3};$
$3 < 4, \text{значит } \sqrt{3} < 2;$

Ответ: $x = 2$.

$\lg(x — 1) + \lg(x + 1) = 0$;

$\lg((x — 1)(x + 1)) = \lg 1;$
$(x — 1)(x + 1) = 1;$
$x^2 — 1 = 1;$
$x^2 = 2, \text{отсюда } x = \pm \sqrt{2};$

Выражение имеет смысл при:
$x — 1 > 0, \text{отсюда } x > 1;$
$x + 1 > 0, \text{отсюда } x > -1;$
$2 > 1, \text{значит } \sqrt{2} > 1;$

Ответ: $x = \sqrt{2}$.

1) $\log_2(x — 5) + \log_2(x + 2) = 3$

Шаг 1: Область допустимых значений (ОДЗ)

Чтобы логарифмы были определены, их аргументы должны быть положительными:

• $x — 5 > 0 \Rightarrow x > 5$
• $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$

Из этих двух неравенств выбираем наиболее строгое ограничение:

$$\boxed{x > 5}$$

Шаг 2: Применение свойства логарифмов

Свойство:

$$\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$$

Применим:

$$\log_2(x — 5) + \log_2(x + 2) = \log_2[(x — 5)(x + 2)]$$

Подставим в уравнение:

$$\log_2[(x — 5)(x + 2)] = 3$$

Представим 3 как логарифм:

$$3 = \log_2(2^3) = \log_2(8)$$

Значит:

$$\log_2[(x — 5)(x + 2)] = \log_2(8) \Rightarrow (x — 5)(x + 2) = 8$$

Шаг 3: Раскрытие скобок

Раскроем скобки:

$$(x — 5)(x + 2) = x^2 + 2x — 5x — 10 = x^2 — 3x — 10$$

Равенство:

$$x^2 — 3x — 10 = 8$$

Переносим 8 влево:

$$x^2 — 3x — 18 = 0$$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Уравнение:

$$x^2 — 3x — 18 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$$

Корни:

$$x_1 = \frac{3 — 9}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6$$

Шаг 5: Проверка на ОДЗ

• $x = -3$ — не удовлетворяет $x > 5$ — отбрасываем
• $x = 6$ — удовлетворяет $x > 5$ — подходит

Ответ: $\boxed{x = 6}$

2) $\log_3(x — 2) + \log_3(x + 6) = 2$

Шаг 1: ОДЗ

• $x — 2 > 0 \Rightarrow x > 2$
• $x + 6 > 0 \Rightarrow x > -6$

Объединяя:

$$\boxed{x > 2}$$

Шаг 2: Преобразуем логарифмы

$$\log_3(x — 2) + \log_3(x + 6) = \log_3[(x — 2)(x + 6)]$$

Уравнение:

$$\log_3[(x — 2)(x + 6)] = 2 = \log_3(3^2) = \log_3(9) \Rightarrow (x — 2)(x + 6) = 9$$

Шаг 3: Раскрытие скобок

$$x^2 + 6x — 2x — 12 = x^2 + 4x — 12$$

Равенство:

$$x^2 + 4x — 12 = 9 \Rightarrow x^2 + 4x — 21 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

$$D = 4^2 + 4 \cdot 21 = 16 + 84 = 100$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-4 — 10}{2} = -7, \quad x_2 = \frac{-4 + 10}{2} = 3$$

Шаг 5: Проверим на ОДЗ

• $x = -7$ — не удовлетворяет $x > 2$ — отбрасываем
• $x = 3$ — удовлетворяет $x > 2$ — подходит

Ответ: $\boxed{x = 3}$

3) $\lg(x + \sqrt{3}) + \lg(x — \sqrt{3}) = 0$

Шаг 1: ОДЗ

• $x + \sqrt{3} > 0 \Rightarrow x > -\sqrt{3}$
• $x — \sqrt{3} > 0 \Rightarrow x > \sqrt{3}$

Итог:

$$\boxed{x > \sqrt{3}}$$

Шаг 2: Преобразуем сумму логарифмов

$$\lg[(x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3})] = \lg(x^2 — 3)$$

Уравнение:

$$\lg(x^2 — 3) = 0 = \lg(1) \Rightarrow x^2 — 3 = 1 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$$

Шаг 3: Проверка на ОДЗ

• $x = -2$ — не удовлетворяет $x > \sqrt{3} \approx 1.732$ — отбрасываем
• $x = 2$ — удовлетворяет $x > \sqrt{3}$ — подходит

Ответ: $\boxed{x = 2}$

4) $\lg(x — 1) + \lg(x + 1) = 0$

Шаг 1: ОДЗ

• $x — 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
• $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$

Итог:

$$\boxed{x > 1}$$

Шаг 2: Преобразуем логарифмы

$$\lg[(x — 1)(x + 1)] = \lg(x^2 — 1)$$

Уравнение:

$$\lg(x^2 — 1) = 0 = \lg(1) \Rightarrow x^2 — 1 = 1 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}$$

Шаг 3: Проверка на ОДЗ

• $x = -\sqrt{2} \approx -1.41$ — не удовлетворяет $x > 1$ — отбрасываем
• $x = \sqrt{2} \approx 1.41$ — удовлетворяет $x > 1$ — подходит

Ответ: $\boxed{x = \sqrt{2}}$

Итоговые ответы:

1. $\boxed{x = 6}$
2. $\boxed{x = 3}$
3. $\boxed{x = 2}$
4. $\boxed{x = \sqrt{2}}$