ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 370 Алимов — Подробные Ответы

1. log11(1);
2. log7(7);
3. log16(64);
4. log27(9).

1. ${\log }_{11}1={\log }_{11}{11}^0=0$;
2. ${\log }_{7}7={\log }_7{7}^1=1$;
3. ${\log }_{16}64=\frac{{\log }_{4}64}{{\log }_{4}16}=\frac{{\log }_4{4}^3}{{\log }_4{4}^2}=\frac{3}{2}=1,5$;
4. ${\log }_{27}9=\frac{{\log }_{3}9}{{\log }_{3}27}=\frac{{\log }_3{3}^2}{{\log }_3{3}^3}=\frac{2}{3}$

Объясним каждое логарифмическое выражение пошагово, используя:

• Определение логарифма
• Свойство логарифма:$${\log }_b{b}^a=a$$
• Формулу смены основания:$${\log }_{b}a=\frac{{\log }_{c}a}{{\log }_{c}b}$$

1) ${\log }_{11}1$

Шаг 1. Вспомним:

$${\log }_{b}1=0\text{для любого }b>0,b\mathrm{\ne }1$$

Потому что:

$$b^0=1\Rightarrow {\log }_{11}1=0$$

Шаг 2. Можно записать через степень:

$${\log }_{11}1={\log }_{11}({11}^0)=0$$

Ответ:

$${\log }_{11}1=0$$

2) ${\log }_{7}7$

Шаг 1. По определению логарифма:

$${\log }_{b}b=1$$

Поскольку:

$$b^1=b\Rightarrow {\log }_{7}7=1$$

Шаг 2. Через степень:

$${\log }_{7}7={\log }_7(7^1)=1$$

Ответ:

$${\log }_{7}7=1$$

3) ${\log }_{16}64$

Основания и аргументы разные, используем формулу смены основания.

Шаг 1. Запишем:

$${\log }_{16}64=\frac{{\log }_{4}64}{{\log }_{4}16}$$

(Выбор новой базы — $4$ — удобен, потому что и 64, и 16 выражаются через 4.)

Шаг 2. Найдём ${\log }_{4}64$:

• $4^1=4$
• $4^2=16$
• $4^3=64$

$$\Rightarrow {\log }_{4}64={\log }_4(4^3)=3$$

Шаг 3. Найдём ${\log }_{4}16$:

• $16=4^2$

$$\Rightarrow {\log }_{4}16={\log }_4(4^2)=2$$

Шаг 4. Подставим в формулу:

$${\log }_{16}64=\frac{3}{2}=1.5$$

Ответ:

$${\log }_{16}64=\frac{3}{2}=1.5$$

4) ${\log }_{27}9$

Шаг 1. Снова используем смену основания, возьмем базу $3$, так как:

• $9=3^2$
• $27=3^3$

$${\log }_{27}9=\frac{{\log }_{3}9}{{\log }_{3}27}$$

Шаг 2. Найдём ${\log }_{3}9$:

$$9=3^2\Rightarrow {\log }_{3}9={\log }_3(3^2)=2$$

Шаг 3. Найдём ${\log }_{3}27$:

$$27=3^3\Rightarrow {\log }_{3}27={\log }_3(3^3)=3$$

Шаг 4. Подставим:

$${\log }_{27}9=\frac{2}{3}$$

Ответ:

$${\log }_{27}9=\frac{2}{3}$$

Окончательные ответы:

1. ${\log }_{11}1=0$
2. ${\log }_{7}7=1$
3. ${\log }_{16}64=\frac{3}{2}=1.5$
4. ${\log }_{27}9=\frac{2}{3}$