ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 955 Алимов — Подробные Ответы

Найти точки перегиба функции f (х), если:

1. f (x) = cos х, -пи < х < пи;
2. f (х) = х5- 80х2
3. f (х)= 12х3 — 24х2 + 12х;
4. f (х) = sin х — 1/2sin 2х, -пи < х < пи.

Точками перегиба функции являются точки, в которых: $f»(x) = 0$.

1) $f(x) = \cos x$ и $-\pi < x < \pi$;

Первая производная:
$f'(x) = (\cos x)’ = -\sin x;$

Вторая производная:
$f»(x) = (-\sin x)’ = -\cos x;$

Точки перегиба:
$-\cos x = 0;$
$\cos x = 0;$
$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$

Ответ: $-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}$.

2) $f(x) = x^5 — 80x^2$;

Первая производная:
$f'(x) = (x^5)’ — 80 \cdot (x^2)’ = 5x^4 — 80 \cdot 2x = 5x^4 — 160x;$

Вторая производная:
$f»(x) = 5 \cdot (x^4)’ — (160x)’ = 5 \cdot 4x^3 — 160 = 20x^3 — 160;$

Точки перегиба:
$20x^3 — 160 = 0;$
$x^3 — 8 = 0;$
$x^3 = 8, \text{отсюда } x = 2;$

Ответ: $2$.

3) $f(x) = 12x^3 — 24x^2 + 12x$;

Первая производная:
$f'(x) = 12 \cdot (x^3)’ — 24 \cdot (x^2)’ + (12x)’;$
$f'(x) = 12 \cdot 3x^2 — 24 \cdot 2x + 12;$
$f'(x) = 36x^2 — 48x + 12;$

Вторая производная:
$f»(x) = 36 \cdot (x^2)’ — (48x — 12)’;$
$f»(x) = 36 \cdot 2x — 48 = 72x — 48;$

Точки перегиба:
$72x — 48 = 0;$
$3x — 2 = 0;$
$3x = 2, \text{отсюда } x = \frac{2}{3};$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

4) $f(x) = \sin x — \frac{1}{2} \sin 2x$ и $-\pi < x < \pi$;

Первая производная:
$f'(x) = (\sin x)’ — \frac{1}{2} \cdot (\sin 2x)’;$
$f'(x) = \cos x — \frac{1}{2} \cdot 2 \cos 2x = \cos x — \cos 2x;$

Вторая производная:
$f»(x) = (\cos x)’ — (\cos 2x)’;$
$f»(x) = -\sin x + 2 \sin 2x;$

Точки перегиба:
$2 \sin 2x — \sin x = 0;$
$4 \sin x \cdot \cos x — \sin x = 0;$
$\sin x \cdot (4 \cos x — 1) = 0;$

Первое уравнение:
$\sin x = 0;$
$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$

Второе уравнение:
$4 \cos x — 1 = 0;$
$4 \cos x = 1;$
$\cos x = \frac{1}{4};$
$x = \pm \arccos \frac{1}{4} + 2\pi n;$

Ответ: $\pm \arccos \frac{1}{4}$.

Найти точки перегиба функции.
Точка перегиба — это точка, в которой вторая производная равна нулю и меняет знак.
Итак, ищем такие $x$, при которых:

1. $f»(x) = 0$ (необходимое условие);
2. Знак $f»(x)$ меняется при переходе через эту точку (достаточное условие — можно проверить отдельно, но здесь в условиях задачи достаточно первого шага).

1) $f(x) = \cos x$, область: $-\pi < x < \pi$

Шаг 1: Найдём первую производную

Применяем правило дифференцирования тригонометрической функции:

$$f(x) = \cos x \Rightarrow f'(x) = \frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$$

Шаг 2: Найдём вторую производную

Берём производную от $f'(x)$:

$$f»(x) = \frac{d}{dx}[-\sin x] = -\cos x$$

Шаг 3: Приравниваем вторую производную к нулю

$$f»(x) = -\cos x = 0 \Rightarrow \cos x = 0$$

Шаг 4: Найдём все решения в заданном промежутке

$$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Подставим целые $n$, чтобы $x \in (-\pi, \pi)$:

• При $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{2}$
• При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{2}$
• При $n = 1$: $x = \frac{3\pi}{2} \notin (-\pi, \pi)$

Итак, подходящие точки:

$$\boxed{x = -\frac{\pi}{2},\quad \frac{\pi}{2}}$$

Ответ: $-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}$

2) $f(x) = x^5 — 80x^2$

Шаг 1: Первая производная

Применяем правила дифференцирования степенных функций:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}[x^5] — \frac{d}{dx}[80x^2] = 5x^4 — 160x$$

Шаг 2: Вторая производная

$$f»(x) = \frac{d}{dx}[5x^4 — 160x] = 5 \cdot 4x^3 — 160 = 20x^3 — 160$$

Шаг 3: Приравниваем к нулю

$$20x^3 — 160 = 0 \Rightarrow x^3 = \frac{160}{20} = 8 \Rightarrow x = \sqrt[3]{8} = 2$$

Ответ: $\boxed{2}$

3) $f(x) = 12x^3 — 24x^2 + 12x$

Шаг 1: Первая производная

$$f'(x) = \frac{d}{dx}[12x^3] — \frac{d}{dx}[24x^2] + \frac{d}{dx}[12x] = 36x^2 — 48x + 12$$

Шаг 2: Вторая производная

$$f»(x) = \frac{d}{dx}[36x^2 — 48x + 12] = 72x — 48$$

Шаг 3: Приравниваем к нулю

$$72x — 48 = 0 \Rightarrow x = \frac{48}{72} = \frac{2}{3}$$

Ответ: $\boxed{\frac{2}{3}}$

4) $f(x) = \sin x — \frac{1}{2} \sin 2x$, область: $-\pi < x < \pi$

Шаг 1: Первая производная

Используем производные от синуса:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin x] — \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}[\sin 2x] = \cos x — \frac{1}{2} \cdot 2\cos 2x = \cos x — \cos 2x$$

Шаг 2: Вторая производная

$$f»(x) = \frac{d}{dx}[\cos x — \cos 2x] = -\sin x + 2 \sin 2x$$

Шаг 3: Приравниваем ко нулю

$$f»(x) = -\sin x + 2 \sin 2x = 0 \Rightarrow 2\sin 2x — \sin x = 0$$

Используем формулу:

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x \Rightarrow 2 \cdot 2\sin x \cos x — \sin x = 0 \Rightarrow \sin x(4\cos x — 1) = 0$$

Решаем по множителям:

1. $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$
В пределах $(-\pi, \pi)$ это:

• $n = -1 \Rightarrow x = -\pi$
• $n = 0 \Rightarrow x = 0$
• $n = 1 \Rightarrow x = \pi$

Но крайние точки $-\pi$ и $\pi$ не входят в интервал, значит:

$$x = 0$$

2. $4\cos x — 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{4}$

$$x = \pm \arccos \frac{1}{4} + 2\pi n$$

Оставляем только те $x$, которые попадают в $(-\pi, \pi)$:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{4}$$

(значения около $\pm 1.318$, входят в интервал)

Ответ: $\boxed{0;\ \pm \arccos \frac{1}{4}}$

Итоговые ответы:

1. $-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}$
2. $2$
3. $\frac{2}{3}$
4. $0;\ \pm \arccos \frac{1}{4}$