ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 460 Алимов — Подробные Ответы

Какие значения может принимать:

1. cos а, если sin а = (2*корень 3) /5;
2. sin а, если cos а = -1/корень 5;
3. sin а, если cos а = 2/3;
4. cos а, если sin а = —1/корень 3?

Какие значения может принимать:

$\cos a$, если $\sin a = \frac{2\sqrt{3}}{5}$;

$$\cos a = \pm \sqrt{1 — \sin^2 a};$$ $$\cos a = \pm \sqrt{1 — \left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2} = \pm \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{12}{25}} = \pm \sqrt{\frac{13}{25}} = \pm \frac{\sqrt{13}}{5};$$

Ответ: $\pm \frac{\sqrt{13}}{5}$.

$\sin a$, если $\cos a = -\frac{1}{\sqrt{5}}$;

$$\sin a = \pm \sqrt{1 — \cos^2 a};$$ $$\sin a = \pm \sqrt{1 — \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2} = \pm \sqrt{\frac{5}{5} — \frac{1}{5}} = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}};$$

Ответ: $\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$.

$\sin a$, если $\cos a = \frac{2}{3}$;

$$\sin a = \pm \sqrt{1 — \cos^2 a};$$ $$\sin a = \pm \sqrt{1 — \left(\frac{2}{3}\right)^2} = \pm \sqrt{\frac{9}{9} — \frac{4}{9}} = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3};$$

Ответ: $\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$.

$\cos a$, если $\sin a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$;

$$\cos a = \pm \sqrt{1 — \sin^2 a};$$ $$\cos a = \pm \sqrt{1 — \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2} = \pm \sqrt{\frac{3}{3} — \frac{1}{3}} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3};$$

Ответ: $\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Задача: Найти возможные значения $\cos a$ или $\sin a$, если известно значение другой функции.

Общие сведения:

• Для любого угла $a$ выполняется основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

• Зная значение $\sin a$ или $\cos a$, можно найти значение другой функции, учитывая знак, который зависит от четверти, в которой находится угол $a$.
• Без дополнительной информации о четверти, функция может принимать как положительное, так и отрицательное значение, поэтому получаем знак $\pm$.

1) Найти $\cos a$, если $\sin a = \frac{2\sqrt{3}}{5}$

Шаг 1. Возвести в квадрат:

$$\sin^2 a = \left(\frac{2\sqrt{3}}{5}\right)^2 = \frac{4 \times 3}{25} = \frac{12}{25}$$

Шаг 2. Используем тождество:

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a = 1 — \frac{12}{25} = \frac{25}{25} — \frac{12}{25} = \frac{13}{25}$$

Шаг 3. Извлекаем корень:

$$\cos a = \pm \sqrt{\frac{13}{25}} = \pm \frac{\sqrt{13}}{5}$$

Итог:

$$\boxed{\cos a = \pm \frac{\sqrt{13}}{5}}$$

2) Найти $\sin a$, если $\cos a = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

Шаг 1. Возвести в квадрат:

$$\cos^2 a = \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{1}{5}$$

Шаг 2. Используем тождество:

$$\sin^2 a = 1 — \cos^2 a = 1 — \frac{1}{5} = \frac{5}{5} — \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$

Шаг 3. Извлекаем корень:

$$\sin a = \pm \sqrt{\frac{4}{5}} = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$$

Итог:

$$\boxed{\sin a = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}}$$

3) Найти $\sin a$, если $\cos a = \frac{2}{3}$

Шаг 1. Возвести в квадрат:

$$\cos^2 a = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$

Шаг 2. Используем тождество:

$${\sin }^{2}a=1-{\cos }^{2}a=1-\frac{4}{9}=\frac{9}{9}-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$$

Шаг 3. Извлекаем корень:

$$\sin a = \pm \sqrt{\frac{5}{9}} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$$

Итог:

$$\boxed{\sin a = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}}$$

4) Найти $\cos a$, если $\sin a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

Шаг 1. Возвести в квадрат:

$$\sin^2 a = \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$$

Шаг 2. Используем тождество:

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a = 1 — \frac{1}{3} = \frac{3}{3} — \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Шаг 3. Извлекаем корень:

$$\cos a = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$$

Итог:

$$\boxed{\cos a = \pm \frac{\sqrt{6}}{3}}$$

Заключение:

В каждом случае, без дополнительной информации о четверти, функция может принимать как положительное, так и отрицательное значение, поэтому знак $\pm$ остаётся неопределённым.