ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 358 Алимов — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

1. у = log5 (х2 -4x + 3);
2. у = log6 (3х+2)/(1-x);
3. у = корень (lgx + lg(x + 2));
4. y = корень (lg(x-l) + lg(x+l)).

$\mathrm{1.\; y}={\log }_5(x^2-4x+3)$;
Выражение имеет смысл при:
$x^2-4x+3>0$;
$D=4^2-4\cdot 3=16-12=4$, тогда:
$x_1=\frac{4-2}{2}=1$ и $x_2=\frac{4+2}{2}=3$;
$(x-1)(x-3)>0$;
$x<1$ и $x>3$;

Ответ: $x<1$; $x>3$.

$\mathrm{2.\; y}={\log }_6\left(\frac{3x+2}{1-x}\right)$;
Выражение имеет смысл при:
$\frac{3x+2}{1-x}>0$;
$(3x+2)(1-x)>0$;
$(3x+2)(x-1)<0$;
$-\frac{2}{3}<x<1$;

Ответ: $-\frac{2}{3}<x<1$.

$\mathrm{3.\; y}=\sqrt{\lg x+\lg (x+2)}$;
Выражение имеет смысл при:
$x>0$;
$x+2>0$, отсюда $x>-2$;
$\lg x+\lg (x+2)\ge 0$;
$\lg (x(x+2))\ge \lg 1$;
$x(x+2)\ge 1$;
$x^2+2x-1\ge 0$;
$D=2^2+4=4+4=8$, тогда:
$x=\frac{-2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}=-1\pm \sqrt{2}$;
$(x-(-1-\sqrt{2}))(x-(-1+\sqrt{2}))\ge 0$;
$x\le -1-\sqrt{2}$ и $x\ge -1+\sqrt{2}$;

Ответ: $x\ge \sqrt{2}-1$.

$\mathrm{4.\; y}=\sqrt{\lg (x-1)+\lg (x+1)}$;
Выражение имеет смысл при:
$x-1>0$, отсюда $x>1$;
$x+1>0$, отсюда $x>-1$;
$\lg (x-1)+\lg (x+1)\ge 0$;
$\lg ((x-1)(x+1))\ge \lg 1$;
$(x-1)(x+1)\ge 1$;
$x^2\ge 2$;
$x\le -\sqrt{2}$ и $x\ge \sqrt{2}$;

Ответ: $x\ge \sqrt{2}$.

1) $y={\log }_5(x^2-4x+3)$

Условие существования логарифма:

Логарифм ${\log }_a(b)$ определён, только если:

• $b>0$
• $a>0$, $a\mathrm{\ne }1$

Основание у нас $a=5$, что подходит (положительно и не равно 1).
Следовательно, область определения зависит от аргумента логарифма:

$x^2-4x+3>0$

Решим неравенство: $x^2-4x+3>0$

1. Найдём корни квадратного трёхчлена:
   $D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$
2. Корни:
   $x_{1,2}=\frac{-(-4)\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4\pm 2}{2}$
   $x_1=\frac{4-2}{2}=1$, $x_2=\frac{4+2}{2}=3$
3. Раскладываем:
   $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$
4. Решаем неравенство:
   $(x-1)(x-3)>0$ 

   Это произведение двух скобок положительно, когда оба множителя одного знака:

   • Оба положительные: $x>3$
   • Оба отрицательные: $x<1$

Ответ 1:

$$\boxed{{\displaystyle x<1\text{или}x>3}}$$

2) $y={\log }_6\left(\frac{3x+2}{1-x}\right)$

Условие существования логарифма:

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{3x+2}{1-x}>0$

Это дробно-рациональное неравенство.

Решим:

Преобразуем:

$$\frac{3x+2}{1-x}>0$$

Обозначим числитель $A=3x+2$, знаменатель $B=1-x$

Для дроби $\frac{A}{B}>0$, нужно:

• $A>0$ и $B>0$, или
• $A<0$ и $B<0$

Запишем эти системы:

Случай 1:

• $3x+2>0\Rightarrow x>-\frac{2}{3}$
• $1-x>0\Rightarrow x<1$

⟹ Пересечение: $-\frac{2}{3}<x<1$

Случай 2:

• $3x+2<0\Rightarrow x<-\frac{2}{3}$
• $1-x<0\Rightarrow x>1$

⟹ Пересечение пусто (не выполняется одновременно)

Ответ 2:

$$\boxed{{\displaystyle -\frac{2}{3}<x<1}}$$

3) $y=\sqrt{\lg x+\lg (x+2)}$

Условие существования:

Внутри логарифмов — только положительные значения:

• • $x>0$
  • $x+2>0\Rightarrow x>-2$

⟹ Пересечение: $x>0$

Подкоренное выражение (сумма логарифмов) должно быть неотрицательно:

$$\lg x+\lg (x+2)\ge 0$$

Применим свойство логарифма:

$$\lg x+\lg (x+2)=\lg (x(x+2))=\lg (x^2+2x)$$

Тогда:

$$\lg (x^2+2x)\ge 0\Rightarrow x^2+2x\ge 1$$

Решим это неравенство.

Решим квадратное неравенство:

$$x^2+2x-1\ge 0$$

1. Дискриминант:
   $D=2^2+4\cdot 1=4+4=8$
2. Корни:$$x=\frac{-2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}=-1\pm \sqrt{2}$$
3. Значит:

$$x\le -1-\sqrt{2}\text{или}x\ge -1+\sqrt{2}$$

Но ранее было: $x>0$, т.е. нужно пересечь это с $x>0$

⟹ $-1+\sqrt{2}\approx 0.414$, а $-1-\sqrt{2}<0$ — не входит

Ответ 3:

$$\boxed{{\displaystyle x\ge \sqrt{2}-1}}$$

4) $y=\sqrt{\lg (x-1)+\lg (x+1)}$

Условие существования:

Подлогарифмические выражения положительные:

• • $x-1>0\Rightarrow x>1$
  • $x+1>0\Rightarrow x>-1$

⟹ Пересечение: $x>1$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательно:

$$\lg (x-1)+\lg (x+1)\ge 0$$

Применим свойство логарифма:

$$\lg ((x-1)(x+1))=\lg (x^2-1)$$

Тогда:

$$\lg (x^2-1)\ge 0\Rightarrow x^2-1\ge 1\Rightarrow x^2\ge 2$$

Решим:

$$x^2\ge 2\Rightarrow x\le -\sqrt{2}\text{или}x\ge \sqrt{2}$$

Учитываем также $x>1$

⟹ Пересекаем с $x>1$: итог $x\ge \sqrt{2}$

Ответ 4:

$$\boxed{{\displaystyle x\ge \sqrt{2}}}$$

Итоговые ответы:

1. $x<1$ или $x>3$
2. $-{\displaystyle \frac{2}{3}}<x<1$
3. $x\ge \sqrt{2}-1$
4. $x\ge \sqrt{2}$