ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 339 Алимов — Подробные Ответы

1. 1/2 lg(x2+x-5) = lg(5x) +lg1/5x;
2. 1/2lg(x2-4x-1) = lg(8x) — lg(4x).

1. $\frac{1}{2}\lg (x^2+x-5)=\lg (5x)+\lg \frac{1}{5x}$;

$$\lg (x^2+x-5{)}^{\frac{1}{2}}=\lg (5x\cdot \frac{1}{5x})$$

$$$$$$\lg \sqrt{x^2+x-5}=\lg 1;$$

$$$$$$\sqrt{x^2+x-5}=1;$$

$$$$$$x^2+x-5=1;$$

$$$$$$x^2+x-6=0;$$

$$$$$$D=1^2+4\cdot 6=1+24=25,\text{ тогда: }$$

$$$$$$x_1=\frac{-1-5}{2}=-3\text{и}{x}_2=\frac{-1+5}{2}=2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$5x>0,\text{ отсюда }x>0;$$

Выполним проверку:

$$\frac{1}{2}\lg (2^2+2-5)-\lg (5\cdot 2)-\lg \frac{1}{5\cdot 2}=\frac{1}{2}\lg 1-\lg 10-\lg \frac{1}{10}=0-1+1=0;$$

Ответ: $x=2$.

2. $\frac{1}{2}\lg (x^2-4x-1)=\lg (8x)-\lg (4x)$;

$$\lg (x^2-4x-1{)}^{\frac{1}{2}}=\lg \frac{8x}{4x};$$

$$$$$$\lg \sqrt{x^2-4x-1}=\lg 2;$$

$$$$$$\sqrt{x^2-4x-1}=2;$$

$$$$$$x^2-4x-1=4;$$

$$$$$$x^2-4x-5=0;$$

$$$$$$D=4^2+4\cdot 5=16+20=36,\text{ тогда: }$$

$$$$$$x_1=\frac{4-6}{2}=-1\text{и}{x}_2=\frac{4+6}{2}=5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$8x>0,\text{ отсюда }x>0;$$

$$$$$$4x>0,\text{ отсюда }x>0;$$

Выполним проверку:

$$\frac{1}{2}\lg (5^2-4\cdot 5-1)-\lg (5\cdot 8)+\lg (4\cdot 5)=\frac{1}{2}\lg 4-\lg 40+\lg 20=$$

$$$$$$=\lg 4^{\frac{1}{2}}-\lg (4\cdot 10)+\lg (2\cdot 10)=\lg 2-(\lg 4+\lg 10)+(\lg 2+\lg 10)=$$

$$$$$$=\lg (2\cdot 2)-\lg 4=\lg 4-\lg 4=0;$$$$$$

Ответ: $x=5$.

Задача 1

Условие:

$$\frac{1}{2}\lg (x^2+x-5)=\lg (5x)+\lg \left(\frac{1}{5x}\right)$$

Шаг 1: Применяем свойства логарифмов

Напомним:

• $\lg a^b=b\lg a$
• $\lg a+\lg b=\lg (a\cdot b)$
• $\lg \left(\frac{a}{b}\right)=\lg a-\lg b$

Левую часть:

$$\frac{1}{2}\lg (x^2+x-5)=\lg ((x^2+x-5{)}^{1\mathrm{/}2})=\lg \sqrt{x^2+x-5}$$

Правую часть:

$$\lg (5x)+\lg \left(\frac{1}{5x}\right)=\lg (5x\cdot \frac{1}{5x})=\lg (1)$$

Шаг 2: Получаем уравнение

$$\lg \sqrt{x^2+x-5}=\lg 1$$

Поскольку функция $\lg x$ строго монотонна, можем отбросить логарифмы:

$$\sqrt{x^2+x-5}=1$$

Шаг 3: Возводим обе части в квадрат

$$x^2+x-5=1$$$$x^2+x-6=0$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение

Находим дискриминант:

$$D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 1\cdot (-6)=1+24=25$$

Корни:

$$x_1=\frac{-1-\sqrt{25}}{2}=\frac{-1-5}{2}=-3,x_2=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2$$

Шаг 5: ОДЗ (область допустимых значений)

• $\lg (5x)$ и $\lg \left(\frac{1}{5x}\right)$ существуют, когда:

$$5x>0\Rightarrow x>0$$

• Также: подлогарифмическое выражение $x^2+x-5>0$

Решим неравенство:

$$x^2+x-5>0$$

Находим корни: $D=1+20=21$, но нам достаточно знать, что:

Решение: $x<-2.618$ или $x>1.618$

Итак, для логарифмов:

• $x>0$
• $x>\mathrm{1.618\dots }$

Итоговое ОДЗ: $x>\frac{\sqrt{21}-1}{2}\approx 1.618$

Из двух корней $x=-3$ и $x=2$, удовлетворяет только $x=2$

Шаг 6: Проверка подстановкой

Подставим $x=2$ в исходное уравнение:

$$\frac{1}{2}\lg (2^2+2-5)=\frac{1}{2}\lg (4+2-5)=\frac{1}{2}\lg (1)=\frac{1}{2}\cdot 0=0$$

Правая часть:

$$\lg (5\cdot 2)+\lg \left(\frac{1}{5\cdot 2}\right)=\lg 10+\lg \left(\frac{1}{10}\right)=\lg 10+(-\lg 10)=0$$

Равенство выполняется.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=2}}$$

Задача 2

Условие:

$$\frac{1}{2}\lg (x^2-4x-1)=\lg (8x)-\lg (4x)$$

Шаг 1: Преобразуем правую часть

$$\lg (8x)-\lg (4x)=\lg \left(\frac{8x}{4x}\right)=\lg (2)$$

Шаг 2: Перепишем уравнение

$$\frac{1}{2}\lg (x^2-4x-1)=\lg 2$$

Умножим обе части на 2:

$$\lg (x^2-4x-1)=2\lg 2=\lg (2^2)=\lg 4$$

Так как логарифмы равны, подлогарифмические выражения тоже равны:

$$x^2-4x-1=4$$$$x^2-4x-5=0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)=16+20=36$$$$x_1=\frac{4-6}{2}=-1,x_2=\frac{4+6}{2}=5$$

Шаг 4: ОДЗ

• $\lg (8x)$, $\lg (4x)$ существуют, если $x>0$
• $\lg (x^2-4x-1)$ существует, если $x^2-4x-1>0$

Решим неравенство:

$$x^2-4x-1>0\Rightarrow D=16+4=20\Rightarrow x<2-\sqrt{5}\text{или}x>2+\sqrt{5}$$

Численно:

$$x<-\mathrm{0.236\dots }\text{или}x>\mathrm{4.236\dots }$$

Пересекаем с $x>0$ ⇒ $x>\mathrm{4.236\dots }$

Из найденных корней:

• $x=-1$: не подходит
• $x=5$: подходит

Шаг 5: Проверка подстановкой

Проверим $x=5$:

Левая часть:

$$\frac{1}{2}\lg (5^2-4\cdot 5-1)=\frac{1}{2}\lg (25-20-1)=\frac{1}{2}\lg 4=\frac{1}{2}\cdot \lg 4$$$$=\lg \sqrt{4}=\lg 2$$

Правая часть:

$$\lg (8\cdot 5)-\lg (4\cdot 5)=\lg 40-\lg 20=\lg \left(\frac{40}{20}\right)=\lg 2$$

Равенство выполнено.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=5}}$$