ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1354 Алимов — Подробные Ответы

1. 5log3(x2) — 6*5log3x+5=0;
2. 25log3(x) — 4*5log3(x)+1 =125.

$5^{\log_3 x^2} — 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0$;

$5^{2 \log_3 x} — 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0$;

Пусть $y = 5^{\log_3 x}$, тогда:

$y^2 — 6y + 5 = 0$;

$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$, тогда:

$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5$;

Первое значение:

$5^{\log_3 x} = 1$;

$\log_3 x = 0$;

$\log_3 x = \log_3 3^0$, отсюда $x = 1$;

Второе значение:

$5^{\log_3 x} = 5$;

$\log_3 x = 1$;

$\log_3 x = \log_3 3^1$, отсюда $x = 3$;

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

$25^{\log_3 x} — 4 \cdot 5^{\log_3 x + 1} = 125$;

$5^{2 \log_3 x} — 4 \cdot 5 \cdot 5^{\log_3 x} = 125$;

Пусть $y = 5^{\log_3 x}$, тогда:

$y^2 — 4 \cdot 5y = 125$;

$y^2 — 20y — 125 = 0$;

$D = 20^2 + 4 \cdot 125 = 400 + 500 = 900$, тогда:

$y_1 = \frac{20 — 30}{2} = -5$ и $y_2 = \frac{20 + 30}{2} = 25$;

Первое значение:

$5^{\log_3 x} = -5$ — корней нет;

Второе значение:

$5^{\log_3 x} = 25$;

$\log_3 x = 2$;

$\log_3 x = \log_3 3^2$, отсюда $x = 9$;

Ответ: $x = 9$.

Пример 1:

$$5^{\log_3 x^2} — 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0$$

Шаг 1: Преобразование выражений

Посмотрим на первое выражение $5^{\log_3 x^2}$. Используя свойство логарифмов:

$$\log_b(a^n) = n \cdot \log_b a,$$

мы можем переписать $\log_3 x^2$ как $2 \cdot \log_3 x$. Таким образом, у нас получится:

$$5^{\log_3 x^2} = 5^{2 \log_3 x}.$$

Теперь уравнение становится:

$$5^{2 \log_3 x} — 6 \cdot 5^{\log_3 x} + 5 = 0.$$

Шаг 2: Введение нового переменного

Для упрощения введём новый переменный $y$, где:

$$y = 5^{\log_3 x}.$$

Тогда $5^{2 \log_3 x} = y^2$. Подставим это в уравнение:

$$y^2 — 6y + 5 = 0.$$

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение:

$$y^2 — 6y + 5 = 0.$$

Для решения этого уравнения используем формулу для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = -6$, $c = 5$. Подставляем значения:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.$$

Теперь находим корни уравнения по формуле:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{-(-6) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 — 4}{2} = 1,$$ $$y_2 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5.$$

Шаг 4: Решение для $x$

Теперь вернемся к переменной $y = 5^{\log_3 x}$ и решим для каждого значения $y$.

Первое значение: $y_1 = 1$.

У нас есть:

$$5^{\log_3 x} = 1.$$

Из этого выражения $5^{\log_3 x} = 1$, мы можем сделать вывод, что $\log_3 x = 0$, так как $5^0 = 1$.

Затем решим:

$$\log_3 x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3^0 = 1.$$

Второе значение: $y_2 = 5$.

У нас есть:

$$5^{\log_3 x} = 5.$$

Из этого выражения $5^{\log_3 x} = 5$, мы можем сделать вывод, что $\log_3 x = 1$, так как $5^1 = 5$.

Затем решим:

$$\log_3 x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 3^1 = 3.$$

Шаг 5: Ответ

Таким образом, два решения для $x$:

$$x_1 = 1, \quad x_2 = 3.$$

Пример 2:

$$25^{\log_3 x} — 4 \cdot 5^{\log_3 x + 1} = 125.$$

Шаг 1: Преобразование выражений

Перепишем $25^{\log_3 x}$ как $5^{2 \log_3 x}$, так как $25 = 5^2$. Уравнение станет:

$$5^{2 \log_3 x} — 4 \cdot 5^{\log_3 x + 1} = 125.$$

Далее упростим $5^{\log_3 x + 1}$ как $5^{\log_3 x} \cdot 5$:

$$5^{2 \log_3 x} — 4 \cdot 5 \cdot 5^{\log_3 x} = 125.$$

Теперь у нас следующее уравнение:

$$5^{2 \log_3 x} — 4 \cdot 5 \cdot 5^{\log_3 x} = 125.$$

Шаг 2: Введение нового переменного

Введем новый переменный:

$$y = 5^{\log_3 x}.$$

Тогда $5^{2 \log_3 x} = y^2$, и уравнение примет вид:

$$y^2 — 20y = 125.$$

Шаг 3: Перевод уравнения в стандартный вид

Переносим все в одну сторону:

$$y^2 — 20y — 125 = 0.$$

Теперь решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

Шаг 4: Находим дискриминант

Для уравнения $y^2 — 20y — 125 = 0$ у нас $a = 1$, $b = -20$, $c = -125$. Рассчитаем дискриминант:

$$D = (-20)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 400 + 500 = 900.$$

Шаг 5: Находим корни уравнения

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-(-20) — \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{20 — 30}{2} = \frac{-10}{2} = -5,$$ $$y_2 = \frac{-(-20) + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{20 + 30}{2} = \frac{50}{2} = 25.$$

Шаг 6: Рассмотрим значения для $y$

Первое значение: $y_1 = -5$.

У нас есть:

$$5^{\log_3 x} = -5.$$

Однако $5^{\log_3 x}$ не может быть отрицательным, так как $5^{\log_3 x}$ всегда положительно для всех $x > 0$. Следовательно, решение $y_1 = -5$ не имеет смысла.

Второе значение: $y_2 = 25$.

У нас есть:

$$5^{\log_3 x} = 25.$$

Поскольку $25 = 5^2$, мы получаем:

$$\log_3 x = 2.$$

Теперь решаем:

$$\log_3 x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 3^2 = 9.$$

Шаг 7: Ответ

Таким образом, единственное решение для $x$:

$$x = 9.$$

Ответ:

1. $x_1 = 1, x_2 = 3$.
2. $x = 9$.