ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1334 Алимов — Подробные Ответы

1. 2х^-2 + 4x^-1 + 3 = 0;
2. (х2 — х)2 + 12 = 8 (х2-x).

$2x^{-2} + 4x^{-1} + 3 = 0 \quad | \cdot x^2$;

$2x^0 + 4x^1 + 3x^2 = 0$;

$3x^2 + 4x + 2 = 0$;

$D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 — 24 = -8$;

$D < 0$, значит корней нет;

Ответ: корней нет.

$(x^2 — x)^2 + 12 = 8(x^2 — x)$;

$(x^2 — x)^2 — 8(x^2 — x) + 12 = 0$;

Пусть $y = (x^2 — x)$, тогда:

$y^2 — 8y + 12 = 0$;

$D = 8^2 — 4 \cdot 12 = 64 — 48 = 16$, тогда:

$y_1 = \frac{8 — 4}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$;

Первое значение:

$x^2 — x = 2$;

$x^2 — x — 2 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$, тогда:

$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$;

Второе значение:

$x^2 — x = 6$;

$x^2 — x — 6 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:

$x_3 = \frac{1 — 5}{2} = -2$ и $x_4 = \frac{1 + 5}{2} = 3$;

Ответ: $x_1 = -1$; $x_{2,3} = \pm 2$; $x_4 = 3$.

Уравнение 1: $2x^{-2} + 4x^{-1} + 3 = 0$

Шаг 1: Умножение на $x^2$

Для удобства работы с дробными показателями умножим обе части уравнения на $x^2$ (при условии, что $x \neq 0$, так как деление на 0 невозможно):

$$2x^{-2} + 4x^{-1} + 3 = 0 \quad \left| \cdot x^2 \right.$$

Произведем умножение на $x^2$ для каждого слагаемого:

$$2x^{-2} \cdot x^2 + 4x^{-1} \cdot x^2 + 3 \cdot x^2 = 0.$$

После умножения на $x^2$ получаем:

$$2x^0 + 4x^1 + 3x^2 = 0.$$

Поскольку $x^0 = 1$, у нас получается:

$$2 + 4x + 3x^2 = 0.$$

Шаг 2: Преобразование уравнения

Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение относительно $x$:

$$3x^2 + 4x + 2 = 0.$$

Шаг 3: Вычисление дискриминанта

Для решения этого квадратного уравнения используем формулу для дискриминанта. В квадратном уравнении $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac.$$

В нашем случае $a = 3$, $b = 4$, $c = 2$. Подставляем эти значения в формулу:

$$D = 4^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 16 — 24 = -8.$$

Шаг 4: Анализ дискриминанта

Так как дискриминант $D = -8$ отрицателен, это означает, что у уравнения нет действительных корней, так как квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не существует.

Ответ для уравнения 1:

Корней нет.

Уравнение 2: $(x^2 — x)^2 + 12 = 8(x^2 — x)$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Для удобства обозначим выражение $x^2 — x$ как новую переменную $y$. Тогда уравнение преобразуется в:

$$y^2 + 12 = 8y.$$

Шаг 2: Перенос всех слагаемых в одну сторону

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

$$y^2 — 8y + 12 = 0.$$

Теперь у нас есть стандартное квадратное уравнение относительно $y$.

Шаг 3: Вычисление дискриминанта

Для решения квадратного уравнения $y^2 — 8y + 12 = 0$ снова вычислим дискриминант. В данном случае $a = 1$, $b = -8$, $c = 12$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 — 48 = 16.$$

Шаг 4: Нахождение корней для $y$

Так как дискриминант $D = 16$ положительный, у нас есть два действительных корня для $y$. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$y_1, y_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставим $b = -8$, $D = 16$, и $a = 1$:

$$y_1 = \frac{8 — 4}{2} = \frac{4}{2} = 2,$$ $$y_2 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6.$$

Таким образом, мы нашли два значения для $y$:

$$y_1 = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = 6.$$

Шаг 5: Возврат к переменной $x$

Теперь, так как $y = x^2 — x$, подставляем найденные значения $y_1 = 2$ и $y_2 = 6$ в уравнение $x^2 — x = y$:

Для $x^2 — x = 2$, получаем уравнение:

$$x^2 — x — 2 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение. Для вычисления дискриминанта используем формулу:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.$$

Так как дискриминант положительный ($D = 9$), у нас есть два корня. Используем формулу для нахождения корней:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1,$$ $$x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 2.$$

Для $x^2 — x = 6$, получаем уравнение:

$$x^2 — x — 6 = 0.$$

Решим это квадратное уравнение. Для вычисления дискриминанта:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.$$

Дискриминант положительный ($D = 25$), и мы находим два корня:

$$x_3 = \frac{-(-1) — \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 5}{2} = -2,$$ $$x_4 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3.$$

Ответ для уравнения 2:

$x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$, $x_4 = 3$.

Итоговый ответ:

1. Для уравнения $2x^{-2} + 4x^{-1} + 3 = 0$ ответ: корней нет.
2. Для уравнения $(x^2 — x)^2 + 12 = 8(x^2 — x)$ ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$, $x_4 = 3$.