ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 553 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить (553—554).

1. 2sin6acos2(пи/4 + 3a) — sin6a при a= 5пи/24;
2. sin3a+ 2cos(пи- 3a)sin2(пи/4 — 1,5a) a при a= 5пи/36.

1.

$$2 \sin 6a \cdot \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + 3a \right) — \sin 6a = \sin 6a \cdot \left( 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + 3a \right) — 1 \right) =$$ $$= \sin 6a \cdot \left( 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + 3a \right) — \left( \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + 3a \right) + \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + 3a \right) \right) \right) =$$ $$= \sin 6a \cdot \left( \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + 3a \right) — \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + 3a \right) \right) = \sin 6a \cdot \cos \left( 2 \cdot \left( \frac{\pi}{4} + 3a \right) \right) =$$ $$= \sin 6a \cdot \cos \left( \frac{\pi}{2} + 6a \right) = \sin 6a \cdot (-\sin 6a) = -\sin^2 6a;$$

Значение выражения при $a = \frac{5\pi}{24}$:

$$-\sin^2 \left( 6 \cdot \frac{5\pi}{24} \right) = -\sin^2 \frac{5\pi}{4} = -\sin^2 \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) = -\sin^2 \frac{\pi}{4} = -\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = -\frac{1}{2};$$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

2.

$$\cos 3a + 2 \cos (\pi — 3a) \cdot \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — 1.5a \right) =$$ $$= \cos 3a — 2 \cos 3a \cdot \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — 1.5a \right) = \cos 3a \cdot \left( 1 — 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — 1.5a \right) \right) =$$ $$= \cos 3a \cdot \left( \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — 1.5a \right) + \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — 1.5a \right) — 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — 1.5a \right) \right) =$$ $$= \cos 3a \cdot \left( \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} — 1.5a \right) — \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — 1.5a \right) \right) = \cos 3a \cdot \cos \left( 2 \left( \frac{\pi}{4} — 1.5a \right) \right) =$$ $$= \cos 3a \cdot \cos \left( \frac{\pi}{2} — 3a \right) = \cos 3a \cdot \sin 3a = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin 3a \cdot \cos 3a = \frac{1}{2} \sin 6a;$$

Значение выражения при $a = \frac{5\pi}{36}$:

$$\frac{1}{2} \cdot \sin \left( 6 \cdot \frac{5\pi}{36} \right) = \frac{1}{2} \cdot \sin \frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot \sin \left( \pi — \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4};$$

Ответ: $\frac{1}{4}$.

1) Упростить выражение и найти его значение при $a = \frac{5\pi}{24}$:

$$2 \sin 6a \cdot \cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 3a\right) — \sin 6a$$

Шаг 1: Вынесем общий множитель $\sin 6a$

$$= \sin 6a \cdot \left( 2 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 3a\right) — 1 \right)$$

Это первое упрощение.

Шаг 2: Используем тригонометрическое тождество

$$2\cos^2 x — 1 = \cos 2x$$

Пусть $x = \frac{\pi}{4} + 3a$, тогда:

$$2 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 3a\right) — 1 = \cos\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} + 3a\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 6a\right)$$

Шаг 3: Подставим в выражение

$$\sin 6a \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + 6a\right)$$

Шаг 4: Преобразуем $\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x$$

Тогда:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + 6a\right) = -\sin 6a$$

Шаг 5: Подставим обратно

$$\sin 6a \cdot (-\sin 6a) = -\sin^2 6a$$

Шаг 6: Найдём значение при $a = \frac{5\pi}{24}$

$$6a = 6 \cdot \frac{5\pi}{24} = \frac{30\pi}{24} = \frac{5\pi}{4}$$

Шаг 7: Упростим $\sin^2 \frac{5\pi}{4}$

$$\frac{5\pi}{4} = \pi + \frac{\pi}{4} \Rightarrow \sin\left(\pi + x\right) = -\sin x \Rightarrow \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ $$\Rightarrow \sin^2\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2}$$

Шаг 8: Подставим:

$$-\sin^2\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{1}{2}}$$

2) Упростить выражение и найти его значение при $a = \frac{5\pi}{36}$:

$$\cos 3a + 2 \cos(\pi — 3a) \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — 1.5a\right)$$

Шаг 1: Используем тождество

$$\cos(\pi — x) = -\cos x \Rightarrow \cos(\pi — 3a) = -\cos 3a$$

Шаг 2: Подставим:

$$= \cos 3a + 2(-\cos 3a) \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — 1.5a\right) = \cos 3a — 2 \cos 3a \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — 1.5a\right)$$

Шаг 3: Вынесем $\cos 3a$

$$= \cos 3a \cdot \left(1 — 2 \sin^2\left(\frac{\pi}{4} — 1.5a\right)\right)$$

Шаг 4: Преобразуем выражение в скобках с помощью тождества

$$1 — 2 \sin^2 x = \cos 2x \Rightarrow \cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x$$

Таким образом:

$$= \cos 3a \cdot \cos\left(2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} — 1.5a\right)\right)$$

Шаг 5: Упростим аргумент:

$$2 \cdot \left(\frac{\pi}{4} — 1.5a\right) = \frac{\pi}{2} — 3a$$

Шаг 6: Получим:

$$= \cos 3a \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} — 3a\right)$$

Шаг 7: Используем тождество:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} — x\right) = \sin x \Rightarrow \cos\left(\frac{\pi}{2} — 3a\right) = \sin 3a$$

Шаг 8: Получаем:

$$\cos 3a \cdot \sin 3a = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin 3a \cos 3a = \frac{1}{2} \sin 6a$$

Шаг 9: Найдём значение при $a = \frac{5\pi}{36}$

$$6a = 6 \cdot \frac{5\pi}{36} = \frac{30\pi}{36} = \frac{5\pi}{6}$$

Шаг 10: Значение синуса:

$$\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi — \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{4}}$$