ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 636 Алимов — Подробные Ответы

1. 4 sin2 x — 5 sin x cos x — 6 cos2 x = 0;
2. 3 sin2 x — 7 sin x cos x + 2 cos2 x = 0;
3. 1 — 4 sin x cos x + 4 cos2 x = 0;
4. 1+ sin2x = 2 sin x cos x.

1) $4 \sin^2 x — 5 \sin x \cdot \cos x — 6 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$

$$4 \operatorname{tg}^2 x — 5 \operatorname{tg} x — 6 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$4y^2 — 5y — 6 = 0;$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 5^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2$$

Решаем квадратное уравнение:

$$y_1 = \frac{-5 — 11}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -\frac{3}{4}, \quad y_2 = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4};$$

Решения для $y_1 = -\frac{3}{4}$:

$$\operatorname{tg} x = -\frac{3}{4}, \quad x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{4} + \pi n;$$

Решения для $y_2 = 2$:

$$\operatorname{tg} x = 2, \quad x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n;$$

Ответ: $-\operatorname{arctg} \frac{3}{4} + \pi n, \, \operatorname{arctg} 2 + \pi n$.

2) $3 \sin^2 x — 7 \sin x \cdot \cos x + 2 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$

$$3 \operatorname{tg}^2 x — 7 \operatorname{tg} x + 2 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$3y^2 — 7y + 2 = 0;$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25;$$

Решаем квадратное уравнение:

$$y_1 = \frac{7 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2;$$

Решения для $y_1 = \frac{1}{3}$:

$$\operatorname{tg} x = \frac{1}{3}, \quad x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n;$$

Решения для $y_2 = 2$:

$$\operatorname{tg} x = 2, \quad x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n;$$

Ответ: $\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n, \, \operatorname{arctg} 2 + \pi n$.

3) $1 — 4 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x = 0;$

$$\cos^2 x + \sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x = 0;$$ $$\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 5 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$\operatorname{tg}^2 x — 4 \operatorname{tg} x + 5 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y^2 — 4y + 5 = 0;$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4;$$

Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней.

Ответ: корней нет.

4) $1 + \sin^2 x = 2 \sin x \cdot \cos x;$

$$\cos^2 x + \sin^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$2 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$$ $$2 \operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x + 1 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$2y^2 — 2y + 1 = 0;$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 — 8 = -4;$$

Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней.

Ответ: корней нет.

1) $4 \sin^2 x — 5 \sin x \cdot \cos x — 6 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$

1. Преобразуем уравнение:

   Начнем с того, что делим исходное уравнение на $\cos^2 x$ с целью перейти к тангенсу:

   $$4 \sin^2 x — 5 \sin x \cdot \cos x — 6 \cos^2 x = 0$$

   Делим обе части на $\cos^2 x$ (предполагаем, что $\cos x \neq 0$):

   $$\frac{4 \sin^2 x}{\cos^2 x} — \frac{5 \sin x \cdot \cos x}{\cos^2 x} — \frac{6 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

   Это выражение можно переписать через $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

   $$4 \operatorname{tg}^2 x — 5 \operatorname{tg} x — 6 = 0$$

2. Решаем квадратное уравнение:

   Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда уравнение превращается в стандартную форму:

   $$4y^2 — 5y — 6 = 0$$

   Решаем его с помощью дискриминанта. Для квадратного уравнения $ay^2 + by + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле:

   $$D = b^2 — 4ac$$

   Подставим значения $a = 4$, $b = -5$, $c = -6$:

   $$D = (-5)^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121$$

   Корень из дискриминанта:

   $$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$$

3. Находим корни уравнения:

   Корни квадратного уравнения находятся по формулам:

   $$y_1 = \frac{-(-5) — 11}{2 \cdot 4} = \frac{5 — 11}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$$ $$y_2 = \frac{-(-5) + 11}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 11}{8} = \frac{16}{8} = 2$$

4. Возвращаемся к тангенсу:

   Для каждого из полученных значений $y_1$ и $y_2$, находим $x$:

   • Для $y_1 = -\frac{3}{4}$:

     $$\operatorname{tg} x = -\frac{3}{4}, \quad x = -\operatorname{arctg} \frac{3}{4} + \pi n$$

   • Для $y_2 = 2$:

     $$\operatorname{tg} x = 2, \quad x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n$$

Ответ: $-\operatorname{arctg} \frac{3}{4} + \pi n, \, \operatorname{arctg} 2 + \pi n$

2) $3 \sin^2 x — 7 \sin x \cdot \cos x + 2 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x;$

1. Преобразуем уравнение:

   Разделим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

   $$3 \operatorname{tg}^2 x — 7 \operatorname{tg} x + 2 = 0$$

2. Решаем квадратное уравнение:

   Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда уравнение становится:

   $$3y^2 — 7y + 2 = 0$$

   Считаем дискриминант:

   $$D = (-7)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 — 24 = 25$$

   Корень из дискриминанта:

   $$\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$$

3. Находим корни уравнения:

   $$y_1 = \frac{-(-7) — 5}{2 \cdot 3} = \frac{7 — 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{-(-7) + 5}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$$

4. Возвращаемся к тангенсу:

   Для каждого значения $y_1$ и $y_2$, находим $x$:

   • Для $y_1 = \frac{1}{3}$:

     $$\operatorname{tg} x = \frac{1}{3}, \quad x = \operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n$$

   • Для $y_2 = 2$:

     $$\operatorname{tg} x = 2, \quad x = \operatorname{arctg} 2 + \pi n$$

Ответ: $\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n, \, \operatorname{arctg} 2 + \pi n$

3) $1 — 4 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x = 0;$

1. Преобразуем уравнение:

   Исходное уравнение:

   $$1 — 4 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x = 0$$

   Перепишем его в более удобной форме, добавив $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$:

   $$\cos^2 x + \sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^2 x = 0$$

   Преобразуем его дальше:

   $$\sin^2 x — 4 \sin x \cdot \cos x + 5 \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x$$

   Преобразуем через тангенс:

   $$\operatorname{tg}^2 x — 4 \operatorname{tg} x + 5 = 0$$

2. Решаем квадратное уравнение:

   Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда уравнение становится:

   $$y^2 — 4y + 5 = 0$$

   Рассчитаем дискриминант:

   $$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 — 20 = -4$$

   Так как дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней.

Ответ: корней нет.

4) $1 + \sin^2 x = 2 \sin x \cdot \cos x;$

1. Преобразуем уравнение:

   Исходное уравнение:

   $$1 + \sin^2 x = 2 \sin x \cdot \cos x$$

   Перепишем его в более удобной форме:

   $$\cos^2 x + \sin^2 x + \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x = 0$$

   Преобразуем далее:

   $$2 \sin^2 x — 2 \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x = 0 \quad | : \cos^2 x$$

   Переводим в тангенс:

   $$2 \operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x + 1 = 0$$

2. Решаем квадратное уравнение:

$$2y^2 — 2y + 1 = 0$$

Рассчитаем дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 4 — 8 = -4$$

Так как дискриминант $D < 0$, у уравнения нет действительных корней.

Ответ: корней нет.

Итоговые ответы:

1. $-\operatorname{arctg} \frac{3}{4} + \pi n, \, \operatorname{arctg} 2 + \pi n$
2. $\operatorname{arctg} \frac{1}{3} + \pi n, \, \operatorname{arctg} 2 + \pi n$
3. корней нет.
4. корней нет.