ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 431 Алимов — Подробные Ответы

Найти значения синуса и косинуса числа Р, если:

1. b=3пи;
2. b=4пи;
3. b=3,5пи;
4. b=5пи/2;
5. b=пиk, k принадлежит Z;
6. b=(2k+1)пи, k принадлежит Z.

Найти значения синуса и косинуса числа $\beta$, если

1. $\beta = 3\pi = \pi + 2\pi$;

   $$\sin \beta = \sin(\pi + 2\pi) = \sin \pi = 0;$$ $$\cos \beta = \cos(\pi + 2\pi) = \cos \pi = -1;$$

2. $\beta = 4\pi = 2\pi + 2\pi$;

   $$\sin \beta = \sin(2\pi + 2\pi) = \sin 2\pi = 0;$$ $$\cos \beta = \cos(2\pi + 2\pi) = \cos 2\pi = 1;$$

3. $\beta = 3,5\pi = 1,5\pi + 2\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi$;

   $$\sin \beta = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \sin \frac{3\pi}{2} = -1;$$ $$\cos \beta = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \cos \frac{3\pi}{2} = 0;$$

4. $\beta = \frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi$;

   $$\sin \beta = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1;$$ $$\cos \beta = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi\right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0;$$

5. $\beta = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$;

   Если $k$ — нечетное число, тогда:

   $$\beta = \pi k = \pi + \pi(k-1) = \pi + 2\pi n, \text{где } n \in \mathbb{Z};$$ $$\sin \beta = \sin(\pi + 2\pi n) = \sin \pi = 0;$$ $$\cos \beta = \cos(\pi + 2\pi n) = \cos \pi = -1;$$Если $k$ — четное число, тогда:

   $$\beta = \pi k = 2\pi n, \text{где } n \in \mathbb{Z};$$ $$\sin \beta = \sin(2\pi n) = \sin 2\pi = 0;$$ $$\cos \beta = \cos(2\pi n) = \cos 2\pi = 1;$$Ответ: $\sin \beta = 0$; $\cos \beta = (-1)^k$.

6. $\beta = (2k+1)\pi = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$;

   $$\sin \beta = \sin(\pi + 2\pi k) = \sin \pi = 0;$$ $$\cos \beta = \cos(\pi + 2\pi k) = \cos \pi = -1;$$

Найти значения синуса и косинуса числа $\beta$, если:

Вспомогательные факты

• Функции синуса и косинуса периодичны с периодом $2\pi$, то есть для любого целого $n$:

  $$\sin(\theta + 2\pi n) = \sin \theta, \quad \cos(\theta + 2\pi n) = \cos \theta.$$

• Знание значений тригонометрических функций в ключевых точках $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$ и их повторение с периодом позволяет вычислить значения в других точках.

1) $\beta = 3\pi$

Разложим $3\pi$ через сумму $\pi + 2\pi$:

$$\beta = 3\pi = \pi + 2\pi.$$

Используем периодичность:

$$\sin \beta = \sin(3\pi) = \sin(\pi + 2\pi) = \sin \pi,$$ $$\cos \beta = \cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = \cos \pi.$$

Из таблицы значений:

$$\sin \pi = 0, \quad \cos \pi = -1.$$

Ответ:

$$\sin 3\pi = 0, \quad \cos 3\pi = -1.$$

2) $\beta = 4\pi$

Разложим $4\pi$ через $2\pi + 2\pi$:

$$\beta = 4\pi = 2\pi + 2\pi.$$

Период $2\pi$ значит, что:

$$\sin(4\pi) = \sin(2\pi + 2\pi) = \sin 2\pi,$$ $$\cos(4\pi) = \cos(2\pi + 2\pi) = \cos 2\pi.$$

Из таблицы:

$$\sin 2\pi = 0, \quad \cos 2\pi = 1.$$

Ответ:

$$\sin 4\pi = 0, \quad \cos 4\pi = 1.$$

3) $\beta = 3.5\pi = \frac{7\pi}{2}$

Преобразуем $3.5\pi$ к виду $\frac{3\pi}{2} + 2\pi$:

$$3.5\pi = 1.5\pi + 2\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi.$$

Пользуемся периодичностью:

$$\sin \beta = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \sin \frac{3\pi}{2},$$ $$\cos \beta = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 2\pi\right) = \cos \frac{3\pi}{2}.$$

Значения:

$$\sin \frac{3\pi}{2} = -1, \quad \cos \frac{3\pi}{2} = 0.$$

Ответ:

$$\sin 3.5\pi = -1, \quad \cos 3.5\pi = 0.$$

4) $\beta = \frac{5\pi}{2}$

Перепишем:

$$\frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + 2\pi.$$

Применяем периодичность:

$$\sin \beta = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi\right) = \sin \frac{\pi}{2},$$ $$\cos \beta = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 2\pi\right) = \cos \frac{\pi}{2}.$$

Значения:

$$\sin \frac{\pi}{2} = 1, \quad \cos \frac{\pi}{2} = 0.$$

Ответ:

$$\sin \frac{5\pi}{2} = 1, \quad \cos \frac{5\pi}{2} = 0.$$

5) $\beta = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Обозначим $k$ как целое число.

• Если $k$ — нечетное, тогда $k = 2n + 1$ для $n \in \mathbb{Z}$.

$$\beta = \pi k = \pi (2n + 1) = \pi + 2\pi n.$$

По периодичности:

$$\sin \beta = \sin(\pi + 2\pi n) = \sin \pi = 0,$$ $$\cos \beta = \cos(\pi + 2\pi n) = \cos \pi = -1.$$

• Если $k$ — четное, тогда $k = 2n$ для $n \in \mathbb{Z}$.

$$\beta = \pi k = \pi (2n) = 2\pi n.$$

По периодичности:

$$\sin \beta = \sin(2\pi n) = 0,$$ $$\cos \beta = \cos(2\pi n) = 1.$$

Таким образом, в общем случае:

$$\sin(\pi k) = 0,$$ $$\cos(\pi k) = (-1)^k,$$

поскольку при четном $k$ косинус равен 1, а при нечетном — -1.

6) $\beta = (2k + 1)\pi = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Здесь явно видно, что $\beta$ — нечетное кратное $\pi$.

По периодичности:

$$\sin \beta = \sin(\pi + 2\pi k) = \sin \pi = 0,$$ $$\cos \beta = \cos(\pi + 2\pi k) = \cos \pi = -1.$$