ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 635 Алимов — Подробные Ответы

1. cos x cos 2x = sin x sin 2x;
2. sin 2x cos x = cos 2x sin x;
3. sin Sx = sin 2x cos x;
4. cos 5x cos x = cos 4x.

1. $\cos x \cdot \cos 2x = \sin x \cdot \sin 2x$;
   $\cos x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \sin 2x = 0$;
   $\cos(x + 2x) = 0$;
   $\cos 3x = 0$;
   $3x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   $x = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$;
   Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$.
2. $\sin 2x \cdot \cos x = \cos 2x \cdot \sin x$;
   $\sin 2x \cdot \cos x — \cos 2x \cdot \sin x = 0$;
   $\sin(2x — x) = 0$;
   $\sin x = 0$;
   $x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
   Ответ: $\pi n$.
3. $\sin 3x = \sin 2x \cdot \cos x$;
   $\sin(x + 2x) — \sin 2x \cdot \cos x = 0$;
   $\sin x \cdot \cos 2x + \sin 2x \cdot \cos x — \sin 2x \cdot \cos x = 0$;
   $\sin x \cdot \cos 2x = 0$;

   Первое уравнение:
   $\sin x = 0$;
   $x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;

   Второе уравнение:
   $\cos 2x = 0$;
   $2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   $x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;
   Ответ: $\pi n$; $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

4. $\cos 5x \cdot \cos x = \cos 4x$;
   $\cos(5x — x) — \cos 5x \cdot \cos x = 0$;
   $\cos 5x \cdot \cos x + \sin 5x \cdot \sin x — \cos 5x \cdot \cos x = 0$;
   $\sin 5x \cdot \sin x = 0$;

   Первое уравнение:
   $\sin 5x = 0$;
   $5x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
   $x = \frac{1}{5} \cdot \pi n = \frac{\pi n}{5}$;

   Второе уравнение:
   $\sin x = 0$;
   $x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
   Ответ: $\frac{\pi n}{5}$.

1) $\cos x \cdot \cos 2x = \sin x \cdot \sin 2x$

Шаг 1: Применим формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos A \cdot \cos B — \sin A \cdot \sin B = \cos(A + B)$$

Подставляем $A = x$ и $B = 2x$:

$$\cos x \cdot \cos 2x — \sin x \cdot \sin 2x = \cos(x + 2x) = \cos 3x$$

Получаем:

$$\cos 3x = 0$$

Шаг 2: Решаем уравнение $\cos 3x = 0$.

Знаем, что $\cos \theta = 0$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число. Подставляем $3x$ вместо $\theta$:

$$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 3: Решаем относительно $x$.

$$x = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$$

Преобразуем:

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$

2) $\sin 2x \cdot \cos x = \cos 2x \cdot \sin x$

Шаг 1: Применим формулу для синуса разности:

$$\sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B = \sin(A — B)$$

Подставляем $A = 2x$ и $B = x$:

$$\sin 2x \cdot \cos x — \cos 2x \cdot \sin x = \sin(2x — x) = \sin x$$

Получаем:

$$\sin x = 0$$

Шаг 2: Решаем уравнение $\sin x = 0$.

Знаем, что $\sin \theta = 0$ при $\theta = \pi n$, где $n$ — целое число. Таким образом:

$$x = \pi n$$

Ответ: $x = \pi n$

3) $\sin 3x = \sin 2x \cdot \cos x$

Шаг 1: Перепишем уравнение:

$$\sin 3x = \sin 2x \cdot \cos x$$

Применим формулу для синуса суммы:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Подставляем $A = x$ и $B = 2x$:

$$\sin(x + 2x) = \sin x \cdot \cos 2x + \cos x \cdot \sin 2x$$

Таким образом, уравнение можно переписать как:

$$\sin x \cdot \cos 2x + \sin 2x \cdot \cos x — \sin 2x \cdot \cos x = 0$$

Упрощаем:

$$\sin x \cdot \cos 2x = 0$$

Шаг 2: Решим уравнение $\sin x \cdot \cos 2x = 0$.

Это уравнение разлагается на два случая:

1. $\sin x = 0$
2. $\cos 2x = 0$

Шаг 3: Рассмотрим первый случай $\sin x = 0$.

Знаем, что $\sin \theta = 0$ при $\theta = \pi n$, где $n$ — целое число:

$$x = \pi n$$

Шаг 4: Рассмотрим второй случай $\cos 2x = 0$.

Знаем, что $\cos \theta = 0$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число. Подставляем $2x$ вместо $\theta$:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Решаем относительно $x$:

$$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $x = \pi n$; $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

4) $\cos 5x \cdot \cos x = \cos 4x$

Шаг 1: Применим формулу для косинуса разности:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2} [\cos(A — B) + \cos(A + B)]$$

Подставляем $A = 5x$ и $B = x$:

$$\cos 5x \cdot \cos x = \frac{1}{2} [\cos(5x — x) + \cos(5x + x)] = \frac{1}{2} [\cos 4x + \cos 6x]$$

Таким образом, уравнение примет вид:

$$\frac{1}{2} [\cos 4x + \cos 6x] = \cos 4x$$

Умножаем обе части на 2:

$$\cos 4x + \cos 6x = 2 \cos 4x$$

Переносим все на одну сторону:

$$\cos 6x = \cos 4x$$

Шаг 2: Решаем уравнение $\cos 6x = \cos 4x$.

Знаем, что $\cos A = \cos B$ при $A = B + 2k\pi$ или $A = -B + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

1. $6x = 4x + 2k\pi$ — из этого следует $2x = 2k\pi$, то есть $x = k\pi$.
2. $6x = -4x + 2k\pi$ — из этого следует $10x = 2k\pi$, то есть $x = \frac{k\pi}{5}$.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}$ и $x = \pi n$.