ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 313 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. log^2 2(x) — 9log8(x) =4;
2. 16log^2 16(x) + 3log4(x) — 1 =0;
3. log^2 3(x) + 5log9(x) -1,5=4;
4. log^2 3(x) — 15log27(x) +6 =0.

Согласно доказанному в задаче 299:

$$\log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b$$

1)

$${\log }_2^{2}x-9{\log }_{8}x=4;$$

$$\log_2^2 x — 9 \log_8 x = 4;$$ $${\log }_2^{2}x-9{\log }_{2^3}x-4=0;$$

$$\log_2^2 x — 9 \log_{2^3} x — 4 = 0;$$ $$\log_2^2 x — 3 \log_2 x — 4 = 0;$$

Пусть $y = \log_2 x$, тогда:

$$y^2-3y-4=0;$$

$$y^2 — 3y — 4 = 0;$$ $$D=3^2+4\cdot 4=9+16=25,\text{тогда:}$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$

Первое значение:

$${\log }_{2}x=-1;$$

$$\log_2 x = -1;$$ $${\log }_{2}x={\log }_2{2}^{-1};$$

$$\log_2 x = \log_2 2^{-1};$$ $$x = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5;$$

Второе значение:

$${\log }_{2}x=4;$$

$$\log_2 x = 4;$$ $${\log }_{2}x={\log }_2{2}^4;$$

$$\log_2 x = \log_2 2^4;$$ $$x = 2^4 = 16;$$

Ответ: $x_1 = 0.5; \, x_2 = 16$.

2)

$$16{\log }_{16}^{2}x+3{\log }_{4}x-1=0;$$

$$16 \log_{16}^2 x + 3 \log_4 x — 1 = 0;$$ $$16{\log }_{4^2}^{2}x+3{\log }_{4}x-1=0;$$

$$16 \log_{4^2}^2 x + 3 \log_4 x — 1 = 0;$$ $$4 \log_4^2 x + 3 \log_4 x — 1 = 0;$$

Пусть $y = \log_4 x$, тогда:

$$4y^2+3y-1=0;$$

$$4y^2 + 3y — 1 = 0;$$ $$D=3^2+4\cdot 4=9+16=25,\text{тогда:}$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{тогда:}$$ $$y_1=\frac{-3-5}{2\cdot 4}=\frac{-8}{8}=-1;$$

$$y_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1;$$ $$y_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4};$$

Первое значение:

$${\log }_{4}x=-1;$$

$$\log_4 x = -1;$$ $${\log }_{4}x={\log }_4{4}^{-1};$$

$$\log_4 x = \log_4 4^{-1};$$ $$x = 4^{-1} = \frac{1}{4} = 0.25;$$

Второе значение:

$${\log }_{4}x=\frac{1}{4};$$

$$\log_4 x = \frac{1}{4};$$ $$\log_4 x = 4^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2};$$

Ответ: $x_1 = 0.25; \, x_2 = \sqrt{2}$.

3)

$${\log }_3^{2}x+5{\log }_{9}x-1.5=0;$$

$$\log_3^2 x + 5 \log_9 x — 1.5 = 0;$$ $${\log }_3^{2}x+5{\log }_{3^2}x-1.5=0;$$

$$\log_3^2 x + 5 \log_{3^2} x — 1.5 = 0;$$ $$\log_3^2 x + \frac{5}{2} \log_3 x — 1.5 = 0;$$

Пусть $y = \log_3 x$, тогда:

$$y^2+\frac{5}{2}y-1.5=0;$$

$$y^2 + \frac{5}{2} y — 1.5 = 0;$$ $$2y^2+5y-3=0;$$

$$2y^2 + 5y — 3 = 0;$$ $$D=5^2+4\cdot 2\cdot 3=25+24=49,\text{тогда:}$$

$$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49, \text{тогда:}$$ $$y_1=\frac{-5-7}{2\cdot 2}=\frac{-12}{4}=-3;$$

$$y_1 = \frac{-5 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3;$$ $$y_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$

Первое значение:

$${\log }_{3}x=-3;$$

$$\log_3 x = -3;$$ $${\log }_{3}x={\log }_3{3}^{-3};$$

$$\log_3 x = \log_3 3^{-3};$$ $$x = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27};$$

Второе значение:

$${\log }_{3}x=\frac{1}{2};$$

$$\log_3 x = \frac{1}{2};$$ $${\log }_{3}x={\log }_3{3}^{\frac{1}{2}};$$

$$\log_3 x = \log_3 3^{\frac{1}{2}};$$ $$x = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3};$$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{27}; \, x_2 = \sqrt{3}$.

4)

$${\log }_3^{2}x-15{\log }_{27}x+6=0;$$

$$\log_3^2 x — 15 \log_{27} x + 6 = 0;$$ $${\log }_3^{2}x-15{\log }_{3^3}x+6=0;$$

$$\log_3^2 x — 15 \log_{3^3} x + 6 = 0;$$ $$\log_3^2 x — 5 \log_3 x + 6 = 0;$$

Пусть $y = \log_3 x$, тогда:

$$y^2-5y+6=0;$$

$$y^2 — 5y + 6 = 0;$$ $$D=5^2-4\cdot 6=25-24=1,\text{тогда:}$$

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$$

Первое значение:

$${\log }_{3}x=2;$$

$$\log_3 x = 2;$$ $${\log }_{3}x={\log }_3{3}^2;$$

$$\log_3 x = \log_3 3^2;$$ $$x = 3^2 = 9;$$

Второе значение:

$${\log }_{3}x=3;$$

$$\log_3 x = 3;$$ $${\log }_{3}x={\log }_3{3}^3;$$

$$\log_3 x = \log_3 3^3;$$ $$x = 3^3 = 27;$$

Ответ: $x_1 = 9; \, x_2 = 27$.

$$\boxed{x_1 = 0.5, \, x_2 = 16; \, x_1 = 0.25, \, x_2 = \sqrt{2}; \, x_1 = \frac{1}{27}, \, x_2 = \sqrt{3}; \, x_1 = 9, \, x_2 = 27}$$

Согласно задаче 299:

$$\log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b$$

Задача 1:

$$\log_2^2 x — 9 \log_8 x = 4$$

Шаг 1: Заменим логарифм по основанию 8

Преобразуем:

$$\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x$$

Тогда:

$$9 \log_8 x = 9 \cdot \frac{1}{3} \log_2 x = 3 \log_2 x$$

Шаг 2: Подставим

$$\log_2^2 x — 3 \log_2 x — 4 = 0$$

Шаг 3: Введём замену

Пусть $y = \log_2 x$, тогда:

$$y^2 — 3y — 4 = 0$$

Шаг 4: Решим квадратное уравнение

$$D = (-3)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 + 16 = 25$$ $$y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \Rightarrow y_1 = -1,\quad y_2 = 4$$

Шаг 5: Найдём $x$

• $\log_2 x = -1 \Rightarrow x = 2^{-1} = \frac{1}{2} = 0.5$
• $\log_2 x = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16$

Ответ:

$$\boxed{x_1 = 0.5,\quad x_2 = 16}$$

Задача 2:

$$16 \log_{16}^2 x + 3 \log_4 x — 1 = 0$$

Шаг 1: Упростим логарифм по основанию 16

$$\log_{16} x = \log_{4^2} x = \frac{1}{2} \log_4 x \Rightarrow \log_{16}^2 x = \left( \frac{1}{2} \log_4 x \right)^2 = \frac{1}{4} \log_4^2 x$$

Подставим:

$$16 \cdot \frac{1}{4} \log_4^2 x + 3 \log_4 x — 1 = 0 \Rightarrow 4 \log_4^2 x + 3 \log_4 x — 1 = 0$$

Шаг 2: Заменим переменную

Пусть $y = \log_4 x$:

$$4y^2 + 3y — 1 = 0$$

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

$$D = 3^2 + 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9 + 16 = 25$$ $$y_1 = \frac{-3 — 5}{8} = -1,\quad y_2 = \frac{-3 + 5}{8} = \frac{1}{4}$$

Шаг 4: Найдём $x$

• $\log_4 x = -1 \Rightarrow x = 4^{-1} = \frac{1}{4} = 0.25$
• $\log_4 x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 4^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$

Ответ:

$$\boxed{x_1 = 0.25,\quad x_2 = \sqrt{2}}$$

Задача 3:

$$\log_3^2 x + 5 \log_9 x — 1.5 = 0$$

Шаг 1: Преобразуем логарифм

$$\log_9 x = \log_{3^2} x = \frac{1}{2} \log_3 x \Rightarrow 5 \log_9 x = \frac{5}{2} \log_3 x$$

Подставим:

$$\log_3^2 x + \frac{5}{2} \log_3 x — 1.5 = 0$$

Шаг 2: Заменим переменную

Пусть $y = \log_3 x$, тогда:

$$y^2 + \frac{5}{2} y — 1.5 = 0 \Rightarrow 2y^2 + 5y — 3 = 0$$

Шаг 3: Найдём дискриминант

$$D = 5^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 + 24 = 49$$ $$y_1 = \frac{-5 — 7}{4} = -3,\quad y_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Найдём $x$

• $\log_3 x = -3 \Rightarrow x = 3^{-3} = \frac{1}{27}$
• $\log_3 x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 3^{1/2} = \sqrt{3}$

Ответ:

$$\boxed{x_1 = \frac{1}{27},\quad x_2 = \sqrt{3}}$$

Задача 4:

$$\log_3^2 x — 15 \log_{27} x + 6 = 0$$

Шаг 1: Преобразуем логарифм

$$\log_{27} x = \log_{3^3} x = \frac{1}{3} \log_3 x \Rightarrow 15 \log_{27} x = 15 \cdot \frac{1}{3} \log_3 x = 5 \log_3 x$$

Подставим:

$$\log_3^2 x — 5 \log_3 x + 6 = 0$$

Шаг 2: Заменим переменную

Пусть $y = \log_3 x$, тогда:

$$y^2 — 5y + 6 = 0 \Rightarrow D = 25 — 24 = 1$$ $$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2,\quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Шаг 3: Найдём $x$

• $\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 3^2 = 9$
• $\log_3 x = 3 \Rightarrow x = 3^3 = 27$

Ответ:

$$\boxed{x_1 = 9,\quad x_2 = 27}$$

Итоговый ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x_1=0.5,x_2=16;x_1=0.25,x_2=\sqrt{2};}}$$

$$\boxed{ x_1 = 0.5,\ x_2 = 16;\quad x_1 = 0.25,\ x_2 = \sqrt{2};\quad x_1 = \frac{1}{27},\ x_2 = \sqrt{3};\quad x_1 = 9,\ x_2 = 27 }$$