ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 767 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, является ли функция чётной или нечётной:

1. у = sin х + tg х;
2. у = sin х tg х;
3. у = sin х |cos х|.

1.

$$y = \sin x + \operatorname{tg} x;$$ $$y(-x) = \sin(-x) + \operatorname{tg}(-x) = -\sin x — \operatorname{tg} x = -y(x);$$

Ответ: нечетная.

2.

$$y = \sin x \cdot \operatorname{tg} x;$$ $$y(-x) = \sin(-x) \cdot \operatorname{tg}(-x) = (-\sin x)(-\operatorname{tg} x) = \sin x \cdot \operatorname{tg} x = y(x);$$

Ответ: четная.

3.

$$y = \sin x \cdot |\cos x|;$$ $$y(-x) = \sin(-x) \cdot |\cos(-x)| = -\sin x \cdot |\cos x| = -y(x);$$

Ответ: нечетная.

Чётная функция — функция $f(x)$, для которой:

$$f(-x) = f(x) \quad \text{для всех } x.$$

График симметричен относительно оси $y$.

Нечётная функция — функция $f(x)$, для которой:

$$f(-x) = -f(x) \quad \text{для всех } x.$$

График симметричен относительно начала координат.

Для каждой функции определить, является ли она чётной, нечётной или не относится ни к одной из этих категорий.

1)

$$y = \sin x + \operatorname{tg} x$$

Шаг 1. Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = \sin(-x) + \operatorname{tg}(-x)$$

Шаг 2. Используем свойства синуса и тангенса:

• Синус нечётная функция:

$$\sin(-x) = -\sin x$$

• Тангенс нечётная функция:

$$\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$$

Шаг 3. Подставим:

$$y(-x) = -\sin x — \operatorname{tg} x = -(\sin x + \operatorname{tg} x) = -y(x)$$

Вывод:

$$y(-x) = -y(x) \implies y \text{ — нечётная функция}$$

2)

$$y = \sin x \cdot \operatorname{tg} x$$

Шаг 1. Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = \sin(-x) \cdot \operatorname{tg}(-x)$$

Шаг 2. Используем свойства нечётных функций:

$$\sin(-x) = -\sin x, \quad \operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$$

Шаг 3. Подставим и упростим:

$$y(-x) = (-\sin x) \cdot (-\operatorname{tg} x) = \sin x \cdot \operatorname{tg} x = y(x)$$

Вывод:

$$y(-x) = y(x) \implies y \text{ — чётная функция}$$

3)

$$y = \sin x \cdot |\cos x|$$

Шаг 1. Найдём $y(-x)$:

$$y(-x) = \sin(-x) \cdot |\cos(-x)|$$

Шаг 2. Используем свойства:

• $\sin(-x) = -\sin x$ (нечётная функция)
• $\cos(-x) = \cos x$ (чётная функция), значит

$$|\cos(-x)| = |\cos x|$$

Шаг 3. Подставим:

$$y(-x) = -\sin x \cdot |\cos x| = -y(x)$$

Вывод:

$$y(-x) = -y(x) \implies y \text{ — нечётная функция}$$