ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 387 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить log36(15) с точностью до 0,001, зная, что lg3=0,4771, lg5=0,6990.

Вычислить $\log_{36} 15$ с точностью до 0,001, зная что:

$$\lg 3 \approx 0{,}4771 \quad \text{и} \quad \lg 5 \approx 0{,}6990;$$

Преобразуем данный логарифм:

$${\log }_{36}15=\frac{\lg 15}{\lg 36}=\frac{\lg 15}{\lg 6^2}=\frac{\lg 15}{2\lg 6}=\frac{\lg 15}{2(\lg 2+\lg 3)}=$$

$$\log_{36} 15 = \frac{\lg 15}{\lg 36} = \frac{\lg 15}{\lg 6^2} = \frac{\lg 15}{2 \lg 6} = \frac{\lg 15}{2 (\lg 2 + \lg 3)} =$$ $$= \frac{\lg (3 \cdot 5)}{2 (\lg 10 — \lg 5 + \lg 3)} = \frac{\lg 3 + \lg 5}{2 (1 — \lg 5 + \lg 3)};$$

Подставим известные значения:

$$\log_{36} 15 \approx \frac{0{,}4771 + 0{,}6990}{2 (1 — 0{,}6990 + 0{,}4771)} \approx \frac{1{,}1761}{2 \cdot 0{,}7781} \approx \frac{1{,}1761}{1{,}5562} \approx 0{,}756;$$

Ответ: $\boxed{\approx 0{,}756}$.

Условие:

Вычислить:

$$\log_{36} 15$$

с точностью до 0,001, зная, что:

• $\lg 3 \approx 0{,}4771$
• $\lg 5 \approx 0{,}6990$

Шаг 1. Применим формулу смены основания

Формула:

$$\log_b a = \frac{\lg a}{\lg b}$$

Применим:

$$\log_{36} 15 = \frac{\lg 15}{\lg 36}$$

Шаг 2. Упростим знаменатель

Число $36 = 6^2$, значит:

$$\lg 36 = \lg (6^2) = 2 \cdot \lg 6$$

Шаг 3. Распишем $\lg 6$

Поскольку $6 = 2 \cdot 3$, то:

$$\lg 6 = \lg (2 \cdot 3) = \lg 2 + \lg 3$$

Шаг 4. Распишем числитель $\lg 15$

$$15 = 3 \cdot 5 \Rightarrow \lg 15 = \lg 3 + \lg 5$$

Шаг 5. Итак, получаем формулу:

$$\log_{36} 15 = \frac{\lg 3 + \lg 5}{2 (\lg 2 + \lg 3)}$$

Но $\lg 2$ нам не дано. Используем известное:

$$\lg 10 = \lg (2 \cdot 5) = \lg 2 + \lg 5 = 1 \Rightarrow \lg 2 = 1 — \lg 5 = 1 — 0{,}6990 = 0{,}3010$$

Шаг 6. Подставим все числовые значения

Из условия:

• $\lg 3 = 0{,}4771$
• $\lg 5 = 0{,}6990$
• $\lg 2 = 0{,}3010$

Теперь:

• Числитель:

  $$\lg 3 + \lg 5 = 0{,}4771 + 0{,}6990 = 1{,}1761$$

• Знаменатель:

  $$2 (\lg 2 + \lg 3) = 2 (0{,}3010 + 0{,}4771) = 2 \cdot 0{,}7781 = 1{,}5562$$

Шаг 7. Выполним деление

$$\frac{1{,}1761}{1{,}5562} \approx 0{,}7557 \approx 0{,}756 \ (\text{с точностью до } 0{,}001)$$

Ответ:

$$\boxed{\log_{36} 15 \approx 0{,}756}$$