ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 618 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что при любом действительном значении а справедливо равенство cos (arctg а) = 1/ корень (1+a2).

Доказать справедливость равенства для любых значений $a$:

$$\cos (\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}};$$$${\cos }^2(\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{1+a^2};$$$$\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^2(\mathrm{arctg}a)}=\frac{1}{1+a^2};$$$$\frac{1}{1+a^2}=\frac{1}{1+a^2}\mathrm{.}$$

Тождество доказано.

Нам нужно доказать, что:

$$\cos (\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}},$$$${\cos }^2(\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{1+a^2},$$$$\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^2(\mathrm{arctg}a)}=\frac{1}{1+a^2},$$$$\frac{1}{1+a^2}=\frac{1}{1+a^2}\mathrm{.}$$

Шаг 1. Понимание выражений

$\mathrm{arctg}a$ — это угол $\theta$, такой что $\mathrm{tg}\theta =a$. То есть, $\theta =\mathrm{arctg}a$ — это угол, тангенс которого равен $a$.

Основные тригонометрические тождества:

• ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$.
• $\mathrm{tg}\theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$.

Шаг 2. Доказательство первого равенства

Мы начинаем с доказательства:

$$\cos (\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\mathrm{.}$$

Пусть $\theta =\mathrm{arctg}a$, тогда:

$$\mathrm{tg}\theta =a\mathrm{.}$$

Представим треугольник с углом $\theta$, где $\mathrm{tg}\theta =a$, то есть отношение противоположной стороны к прилежащей равно $a$. Пусть противоположная сторона равна $a$, а прилежащая — $1$.

Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы. Гипотенуза $h$ будет:

$$h=\sqrt{1^2+a^2}=\sqrt{1+a^2}\mathrm{.}$$

Тогда, по определению косинуса:

$$\cos \theta =\frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}}=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\mathrm{.}$$

Таким образом, мы доказали первое равенство:

$$\cos (\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\mathrm{.}$$

Шаг 3. Доказательство второго равенства

Теперь переходим ко второму равенству:

$${\cos }^2(\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{1+a^2}\mathrm{.}$$

Из первого равенства знаем, что:

$$\cos (\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\mathrm{.}$$

Возводим обе части в квадрат:

$${\cos }^2(\mathrm{arctg}a)={\left(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}\right)}^2=\frac{1}{1+a^2}\mathrm{.}$$

Это и есть требуемое равенство:

$${\cos }^2(\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{1+a^2}\mathrm{.}$$

Шаг 4. Доказательство третьего равенства

Теперь рассматриваем третье равенство:

$$\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^2(\mathrm{arctg}a)}=\frac{1}{1+a^2}\mathrm{.}$$

Из определения $\mathrm{arctg}a$ знаем, что:

$$\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}a)=a\mathrm{.}$$

Подставляем это в левую часть выражения:

$$\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^2(\mathrm{arctg}a)}=\frac{1}{1+a^2}\mathrm{.}$$

Это и есть нужное равенство.

Шаг 5. Доказательство последнего равенства

Наконец, у нас остается последнее равенство:

$$\frac{1}{1+a^2}=\frac{1}{1+a^2}\mathrm{.}$$

Это очевидное тождество, так как обе части выражения одинаковы.

Заключение

Таким образом, мы доказали все четыре равенства:

1. $\cos (\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$,
2. ${\cos }^2(\mathrm{arctg}a)=\frac{1}{1+a^2}$,
3. $\frac{1}{1+{\mathrm{tg}}^2(\mathrm{arctg}a)}=\frac{1}{1+a^2}$,
4. $\frac{1}{1+a^2}=\frac{1}{1+a^2}$.

Тождество доказано.