ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 542 Алимов — Подробные Ответы

Доказать тождество:

1. cos4a — sin4a + sin2a= корень 2 cos( 2a- пи/4);
2. cosa — cos(2пи/3+a) + cos(2пи/3-a)=0;
3. (sin2a+sin5a-sin3a)/(cosa+1-2sin2 2a)= 2sina.

1.

$$\cos^4 a — \sin^4 a + \sin 2a = \sqrt{2} \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right);$$ $$(\cos^2 a — \sin^2 a)(\cos^2 a + \sin^2 a) + \sin 2a = \sqrt{2} \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right);$$ $$\cos 2a \cdot 1 + \cos \left(\frac{\pi}{2} — 2a\right) = \sqrt{2} \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right);$$ $$2 \cdot \cos \frac{2a + \frac{\pi}{2} — 2a}{2} \cdot \cos \frac{2a — \frac{\pi}{2} + 2a}{2} = \sqrt{2} \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right);$$ $$2 \cdot \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right);$$ $$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right);$$ $$\sqrt{2} \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right);$$

Тождество доказано.

2.

$$\cos a + \cos \left(\frac{2\pi}{3} + a\right) + \cos \left(\frac{2\pi}{3} — a\right) = 0;$$ $$\cos a + 2 \cdot \cos \frac{\frac{2\pi}{3} + a + \frac{2\pi}{3} — a}{2} \cdot \cos \frac{\frac{2\pi}{3} + a — \frac{2\pi}{3} + a}{2} = 0;$$ $$\cos a + 2 \cdot \cos \left(\pi — \frac{\pi}{3}\right) \cdot \cos a = 0;$$ $$\cos a + 2 \cdot \cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos a = 0;$$ $$\cos a — 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos a = 0;$$ $$\cos a — \cos a = 0;$$ $$0 = 0;$$

Тождество доказано.

3.

$$\frac{\sin 2a + \sin 5a — \sin 3a}{\cos a + 1 — 2 \sin^2 2a} = 2 \sin a;$$ $$\frac{2 \cdot \sin a \cdot \cos a + 2 \cdot \sin \frac{5a — 3a}{2} \cdot \cos \frac{5a + 3a}{2}}{\cos a + (1 — \cos 4a)} = 2 \sin a;$$ $$\frac{2 \cdot \sin a \cdot \cos a + 2 \cdot \sin \frac{2a}{2} \cdot \cos \frac{8a}{2}}{\cos a + \cos 4a} = 2 \sin a;$$ $$\frac{2 \cdot \sin a \cdot \cos a + 2 \cdot \sin a \cdot \cos 4a}{\cos a + \cos 4a} = 2 \sin a;$$ $$\frac{2 \sin a (\cos a + \cos 4a)}{\cos a + \cos 4a} = 2 \sin a;$$ $$2 \sin a = 2 \sin a;$$

Тождество доказано.

1)

Дано:

$$\cos^4 a — \sin^4 a + \sin 2a = \sqrt{2} \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right)$$

Нужно доказать это тождество.

Шаг 1. Преобразуем левую часть. Заметим, что выражение содержит разность четвёртых степеней косинуса и синуса:

$$\cos^4 a — \sin^4 a$$

Используем формулу разности квадратов:

$$x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)$$

Подставим $x = \cos^2 a$, $y = \sin^2 a$:

$$\cos^4 a — \sin^4 a = (\cos^2 a — \sin^2 a)(\cos^2 a + \sin^2 a)$$

Шаг 2. Используем фундаментальное тригонометрическое тождество:

$$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

Тогда:

$$\cos^4 a — \sin^4 a = (\cos^2 a — \sin^2 a) \cdot 1 = \cos^2 a — \sin^2 a = \cos 2a$$

Шаг 3. Подставим это обратно в исходное выражение:

$$\cos 2a + \sin 2a = \sqrt{2} \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 4. Выразим $\sin 2a$ через косинус сдвинутого аргумента:

$$\sin 2a = \cos \left(\frac{\pi}{2} — 2a\right)$$

Тогда левая часть:

$$\cos 2a + \sin 2a = \cos 2a + \cos \left(\frac{\pi}{2} — 2a\right)$$

Шаг 5. Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x — y}{2}$$

Пусть:

$$x = 2a, \quad y = \frac{\pi}{2} — 2a$$

Шаг 6. Найдём полусумму и полуразность:

$$\frac{x + y}{2} = \frac{2a + \frac{\pi}{2} — 2a}{2} = \frac{\pi}{4}$$ $$\frac{x — y}{2} = \frac{2a — \left(\frac{\pi}{2} — 2a\right)}{2} = \frac{2a — \frac{\pi}{2} + 2a}{2} = \frac{4a — \frac{\pi}{2}}{2} = 2a — \frac{\pi}{4}$$

Шаг 7. Подставим в формулу суммы косинусов:

$$\cos 2a + \cos \left(\frac{\pi}{2} — 2a\right) = 2 \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 8. Вычислим $\cos \frac{\pi}{4}$:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 9. Тогда левая часть равна:

$$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 10. Получаем:

$$\cos^4 a — \sin^4 a + \sin 2a = \sqrt{2} \cos \left(2a — \frac{\pi}{4}\right)$$

Тождество доказано.

2)

Дано:

$$\cos a+\cos (\frac{2\pi }{3}+a)+\cos (\frac{2\pi }{3}-a)=0$$

Шаг 1. Сгруппируем два последних слагаемых и применим формулу суммы косинусов:

$$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x — y}{2}$$

Пусть:

$$x = \frac{2\pi}{3} + a, \quad y = \frac{2\pi}{3} — a$$

Шаг 2. Найдём полусумму и полуразность:

$$\frac{x + y}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3} + a + \frac{2\pi}{3} — a}{2} = \frac{\frac{4\pi}{3}}{2} = \frac{2\pi}{3}$$ $$\frac{x — y}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3} + a — \left(\frac{2\pi}{3} — a\right)}{2} = \frac{2a}{2} = a$$

Шаг 3. Тогда:

$$\cos \left(\frac{2\pi}{3} + a\right) + \cos \left(\frac{2\pi}{3} — a\right) = 2 \cos \frac{2\pi}{3} \cdot \cos a$$

Шаг 4. Исходное выражение теперь:

$$\cos a + 2 \cos \frac{2\pi}{3} \cdot \cos a = \cos a (1 + 2 \cos \frac{2\pi}{3})$$

Шаг 5. Вычислим $\cos \frac{2\pi}{3}$:

$$\cos \frac{2\pi}{3} = \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$$

Шаг 6. Подставим:

$$1 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 — 1 = 0$$

Шаг 7. Тогда:

$$\cos a \cdot 0 = 0$$

Тождество доказано.

3)

Дано:

$$\frac{\sin 2a + \sin 5a — \sin 3a}{\cos a + 1 — 2 \sin^2 2a} = 2 \sin a$$

Шаг 1. Представим выражение в числителе через известные формулы. Заметим, что $\sin 2a$ можно оставить, а $\sin 5a — \sin 3a$ — преобразовать по формуле разности синусов:

$$\sin x — \sin y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cdot \sin \frac{x — y}{2}$$

Шаг 2. Применим к $\sin 5a — \sin 3a$:

$$\sin 5a — \sin 3a = 2 \cos \frac{5a + 3a}{2} \cdot \sin \frac{5a — 3a}{2} = 2 \cos 4a \cdot \sin a$$

Шаг 3. Тогда числитель:

$$\sin 2a + \sin 5a — \sin 3a = \sin 2a + 2 \cos 4a \cdot \sin a$$

Шаг 4. Используем формулу двойного угла для $\sin 2a$:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cos a$$

Шаг 5. Числитель становится:

$$2 \sin a \cos a + 2 \sin a \cos 4a = 2 \sin a (\cos a + \cos 4a)$$

Шаг 6. Рассмотрим знаменатель:

$$\cos a + 1 — 2 \sin^2 2a$$

Используем формулу для синуса двойного угла в квадрате:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Тогда:

$$2 \sin^2 2a = 2 \cdot \frac{1 — \cos 4a}{2} = 1 — \cos 4a$$

Шаг 7. Подставляем в знаменатель:

$$\cos a + 1 — (1 — \cos 4a) = \cos a + 1 — 1 + \cos 4a = \cos a + \cos 4a$$

Шаг 8. Тогда исходное выражение равно:

$$\frac{2 \sin a (\cos a + \cos 4a)}{\cos a + \cos 4a}$$

Шаг 9. При $\cos a + \cos 4a \neq 0$ сокращаем числитель и знаменатель:

$$2 \sin a$$

Ответ:

$$\frac{\sin 2a + \sin 5a — \sin 3a}{\cos a + 1 — 2 \sin^2 2a} = 2 \sin a$$

Тождество доказано.