ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 698 Алимов — Подробные Ответы

Найти множество значений функции у = sin х — 5 cos х.

$y = \sin x — 5 \cos x$;

Докажем, что $\sin \left( \arccos \frac{1}{\sqrt{26}} \right) = \frac{5}{\sqrt{26}}$:

$$\sin \left( \arccos \frac{1}{\sqrt{26}} \right) = \sqrt{1 — \cos^2 \left( \arccos \frac{1}{\sqrt{26}} \right)} = \sqrt{1 — \left( \frac{1}{\sqrt{26}} \right)^2} =$$ $$= \sqrt{\frac{26}{26} — \frac{1}{26}} = \sqrt{\frac{25}{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}};$$

Упростим выражение:

$$y = \sqrt{26} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{26}} \sin x — \frac{5}{\sqrt{26}} \cos x \right) =$$ $$= \sqrt{26} \cdot \left( \cos \left( \arccos \frac{1}{\sqrt{26}} \right) \cdot \sin x — \sin \left( \arccos \frac{1}{\sqrt{26}} \right) \cdot \cos x \right) =$$ $$= \sqrt{26} \cdot \sin \left( x — \arccos \frac{1}{\sqrt{26}} \right) = \sqrt{26} \cdot \sin \varphi, \text{ где } \varphi = x — \arccos \frac{1}{\sqrt{26}};$$

Область значений функции:

$$-1 \leq \sin \varphi \leq 1;$$ $$-\sqrt{26} \leq y \leq \sqrt{26};$$

Ответ: $E(y) = \left[ -\sqrt{26}, \sqrt{26} \right]$.

Дана функция:

$$y = \sin x — 5 \cos x$$

Цель:

Найти область значений функции $y$, то есть минимальное и максимальное значение $y_{\min}$ и $y_{\max}$.

Шаг 1: Представление функции в виде одного синуса с фазовым сдвигом

Функция $y$ — линейная комбинация синуса и косинуса с одинаковым аргументом $x$:

$$y = A \sin x + B \cos x,$$

где $A = 1$, $B = -5$.

Шаг 2: Нахождение амплитуды $R$

Для выражения

$$A \sin x + B \cos x$$

сумма может быть представлена как

$$R \sin (x + \alpha)$$

или

$$R \cos (x — \beta)$$

где

$$R = \sqrt{A^2 + B^2}$$

Шаг 3: Рассчитаем $R$

$$R = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$$

Шаг 4: Найдём углы для представления через синус с фазовым сдвигом

Ищем такой $\alpha$, что

$$\sin (x + \alpha) = \sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha$$

Равенство функций:

$$A \sin x + B \cos x = R (\sin x \cos \alpha + \cos x \sin \alpha)$$

Сравниваем коэффициенты:

$$A = R \cos \alpha, \quad B = R \sin \alpha$$

Шаг 5: Найдём $\cos \alpha$ и $\sin \alpha$

$$\cos \alpha = \frac{A}{R} = \frac{1}{\sqrt{26}}$$ $$\sin \alpha = \frac{B}{R} = \frac{-5}{\sqrt{26}}$$

Шаг 6: Проверим $\sin \alpha$ через $\cos \alpha$

Поскольку

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1,$$

то

$$\sin \alpha = — \sqrt{1 — \cos^2 \alpha} = — \sqrt{1 — \left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)^2} = — \sqrt{1 — \frac{1}{26}} = — \sqrt{\frac{25}{26}} = -\frac{5}{\sqrt{26}}$$

Шаг 7: Переобозначим $\alpha$ через арккосинус

$$\alpha = -\arccos \frac{1}{\sqrt{26}} = \arcsin \left( -\frac{5}{\sqrt{26}} \right)$$

Для удобства можно записать

$$y = R \sin (x + \alpha) = \sqrt{26} \sin \left( x — \arccos \frac{1}{\sqrt{26}} \right)$$

Шаг 8: Определение области значений функции

Функция $\sin$ принимает значения от $-1$ до $1$:

$$-1 \leq \sin \varphi \leq 1, \quad \varphi = x — \arccos \frac{1}{\sqrt{26}}$$

Шаг 9: Масштабируем на амплитуду $R$:

$$— \sqrt{26} \leq y = \sqrt{26} \sin \varphi \leq \sqrt{26}$$

Итог:

$$y_{\min} = -\sqrt{26}, \quad y_{\max} = \sqrt{26}$$

Вывод:

Область значений функции

$$\boxed{E(y) = \left[ -\sqrt{26}, \sqrt{26} \right]}$$