ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 759 Алимов — Подробные Ответы

Найти множество значений функции:

1. у = 1-2 sin2 х;
2. у = 2 cos2 х — 1;
3. у = 3-2 sin2 х;
4. у = 2 cos2 х + 5;
5. у = cos Зх sin х — sin 3х cos х + 4;
6. у = cos 2х cos х + sin 2х sin х — 3.

1. $y = 1 — 2 \sin^2 x$;
   $-1 \leq \sin x \leq 1$;
   $0 \leq \sin^2 x \leq 1$;
   $-2 \leq -2 \sin^2 x \leq 0$;
   $-1 \leq 1 — 2 \sin^2 x \leq 1$;
   Ответ: $E(y) = [-1; 1]$.
2. $y = 2 \cos^2 x — 1$;
   $-1 \leq \cos x \leq 1$;
   $0 \leq \cos^2 x \leq 1$;
   $0 \leq 2 \cos^2 x \leq 2$;
   $-1 \leq 2 \cos^2 x — 1 \leq 1$;
   Ответ: $E(y) = [-1; 1]$.
3. $y = 3 — 2 \sin^2 x$;
   $-1 \leq \sin x \leq 1$;
   $0 \leq \sin^2 x \leq 1$;
   $-2 \leq -2 \sin^2 x \leq 0$;
   $1 \leq 3 — 2 \sin^2 x \leq 3$;
   Ответ: $E(y) = [1; 3]$.
4. $y = 2 \cos^2 x + 5$;
   $-1 \leq \cos x \leq 1$;
   $0 \leq \cos^2 x \leq 1$;
   $0 \leq 2 \cos^2 x \leq 2$;
   $5 \leq 2 \cos^2 x + 5 \leq 7$;
   Ответ: $E(y) = [5; 7]$.
5. $y = \cos 3x \cdot \sin x — \sin 3x \cdot \cos x + 4 = \sin(x — 3x) + 4 = 4 — \sin 2x$;
   $-1 \leq \sin 2x \leq 1$;
   $-1 \leq -\sin 2x \leq 1$;
   $3 \leq 4 — \sin 2x \leq 5$;
   Ответ: $E(y) = [3; 5]$.
6. $y = \cos 2x \cdot \cos x + \sin 2x \cdot \sin x — 3 = \cos(2x — x) — 3 = \cos x — 3$;
   $-1 \leq \cos x \leq 1$;
   $-4 \leq \cos x — 3 \leq -2$;
   Ответ: $E(y) = [-4; -2]$.

1) $y = 1 — 2 \sin^2 x$

Шаг 1: Известно, что

$$-1 \leq \sin x \leq 1.$$

Шаг 2: Возводим в квадрат:

$$0 \leq \sin^2 x \leq 1,$$

так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Шаг 3: Умножаем на $-2$:

$$-2 \leq -2 \sin^2 x \leq 0,$$

знак неравенства не меняется, так как умножаем на отрицательное число, но меняем порядок:

На самом деле, умножение на отрицательное число меняет знак неравенств:

Если $0 \leq a \leq 1$, то умножение на $-2$ даёт:

$$0 \cdot (-2) \geq -2a \geq 1 \cdot (-2),$$

то есть

$$0 \geq -2a \geq -2,$$

или

$$-2 \leq -2a \leq 0.$$

Шаг 4: Прибавляем 1 ко всем частям неравенства:

$$1 — 2 \leq 1 — 2 \sin^2 x \leq 1 + 0,$$

то есть

$$-1 \leq 1 — 2 \sin^2 x \leq 1.$$

Ответ:

$$E(y) = [-1; 1].$$

2) $y = 2 \cos^2 x — 1$

Шаг 1: Известно,

$$-1 \leq \cos x \leq 1.$$

Шаг 2: Возводим в квадрат:

$$0 \leq \cos^2 x \leq 1.$$

Шаг 3: Умножаем на 2:

$$0 \leq 2 \cos^2 x \leq 2.$$

Шаг 4: Вычитаем 1 из всех частей:

$$-1 \leq 2 \cos^2 x — 1 \leq 1.$$

Ответ:

$$E(y) = [-1; 1].$$

3) $y = 3 — 2 \sin^2 x$

Шаг 1: Известно,

$$-1 \leq \sin x \leq 1,$$

следовательно

$$0 \leq \sin^2 x \leq 1.$$

Шаг 2: Умножаем на $-2$:

$$-2 \leq -2 \sin^2 x \leq 0.$$

Шаг 3: Прибавляем 3 ко всем частям:

$$3 — 2 \leq 3 — 2 \sin^2 x \leq 3 + 0,$$

то есть

$$1 \leq 3 — 2 \sin^2 x \leq 3.$$

Ответ:

$$E(y) = [1; 3].$$

4) $y = 2 \cos^2 x + 5$

Шаг 1: Известно,

$$-1 \leq \cos x \leq 1,$$

следовательно

$$0 \leq \cos^2 x \leq 1.$$

Шаг 2: Умножаем на 2:

$$0 \leq 2 \cos^2 x \leq 2.$$

Шаг 3: Прибавляем 5 ко всем частям:

$$5 \leq 2 \cos^2 x + 5 \leq 7.$$

Ответ:

$$E(y) = [5; 7].$$

5) $y = \cos 3x \cdot \sin x — \sin 3x \cdot \cos x + 4$

Шаг 1: Используем формулу разности синусов:

$$\sin A \cos B — \cos A \sin B = \sin(B — A).$$

Шаг 2: Перепишем выражение:

$$\cos 3x \cdot \sin x — \sin 3x \cdot \cos x = \sin(x — 3x) = \sin(-2x) = -\sin 2x.$$

Шаг 3: Тогда

$$y = -\sin 2x + 4 = 4 — \sin 2x.$$

Шаг 4: Известно, что

$$-1 \leq \sin 2x \leq 1,$$

следовательно

$$-1 \leq -\sin 2x \leq 1.$$

Шаг 5: Прибавляем 4 ко всем частям:

$$3 \leq 4 — \sin 2x \leq 5.$$

Ответ:

$$E(y) = [3; 5].$$

6) $y = \cos 2x \cdot \cos x + \sin 2x \cdot \sin x — 3$

Шаг 1: Используем формулу косинуса разности:

$$\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos (A — B).$$

Шаг 2: Перепишем выражение:

$$\cos 2x \cdot \cos x + \sin 2x \cdot \sin x = \cos(2x — x) = \cos x.$$

Шаг 3: Значит

$$y = \cos x — 3.$$

Шаг 4: Известно,

$$-1 \leq \cos x \leq 1,$$

следовательно

$$-1 — 3 \leq \cos x — 3 \leq 1 — 3,$$

то есть

$$-4 \leq y \leq -2.$$

Ответ:

$$E(y) = [-4; -2].$$