ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1317 Алимов — Подробные Ответы

1. 1-tg2a=cosa/cos2a;
2. 1-ctg2a=-cos2a/sin2a.

$1 — \operatorname{tg}^2 a = \frac{\cos 2a}{\cos^2 a};$

Преобразуем левую часть тождества:

$$1 — \operatorname{tg}^2 a = 1 — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos 2a}{\cos^2 a};$$

Тождество доказано.

$1 — \operatorname{ctg}^2 a = -\frac{\cos 2a}{\sin^2 a};$

Преобразуем левую часть тождества:

$$1 — \operatorname{ctg}^2 a = 1 — \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \frac{\sin^2 a — \cos^2 a}{\sin^2 a} = \frac{- (\cos^2 a — \sin^2 a)}{\sin^2 a} = -\frac{\cos 2a}{\sin^2 a};$$

Тождество доказано.

1) $1 — \operatorname{tg}^2 a = \frac{\cos 2a}{\cos^2 a}$

Шаг 1: Разложение тангенса через синус и косинус

Напоминаем, что $\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}$. Следовательно:

$$\operatorname{tg}^2 a = \left( \frac{\sin a}{\cos a} \right)^2 = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}.$$

Подставим это выражение в левую часть тождества:

$$1 — \operatorname{tg}^2 a = 1 — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}.$$

Шаг 2: Преобразуем выражение

Для того чтобы привести выражение к общему знаменателю, мы перепишем 1 как $\frac{\cos^2 a}{\cos^2 a}$:

$$1 — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a} — \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}.$$

Теперь объединяем дроби:

$$\frac{\cos^2 a — \sin^2 a}{\cos^2 a}.$$

Шаг 3: Используем тождество для косинуса удвоенного угла

Мы знаем, что $\cos^2 a — \sin^2 a = \cos 2a$ (это стандартное тождество для косинуса удвоенного угла). Подставим это в наше выражение:

$$\frac{\cos 2a}{\cos^2 a}.$$

Теперь левая часть тождества у нас приняла вид $\frac{\cos 2a}{\cos^2 a}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) $1 — \operatorname{ctg}^2 a = -\frac{\cos 2a}{\sin^2 a}$

Шаг 1: Разложение котангенса через синус и косинус

Напоминаем, что $\operatorname{ctg} a = \frac{\cos a}{\sin a}$. Следовательно:

$$\operatorname{ctg}^2 a = \left( \frac{\cos a}{\sin a} \right)^2 = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}.$$

Подставим это выражение в левую часть тождества:

$$1 — \operatorname{ctg}^2 a = 1 — \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}.$$

Шаг 2: Преобразуем выражение

Для того чтобы привести выражение к общему знаменателю, мы перепишем 1 как $\frac{\sin^2 a}{\sin^2 a}$:

$$1 — \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = \frac{\sin^2 a}{\sin^2 a} — \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}.$$

Теперь объединяем дроби:

$$\frac{\sin^2 a — \cos^2 a}{\sin^2 a}.$$

Шаг 3: Используем тождество для косинуса удвоенного угла

Мы знаем, что $\cos^2 a — \sin^2 a = \cos 2a$, следовательно:

$$\sin^2 a — \cos^2 a = — (\cos^2 a — \sin^2 a) = — \cos 2a.$$

Подставляем это в нашу дробь:

$$\frac{- \cos 2a}{\sin^2 a}.$$

Таким образом, левая часть тождества у нас приняла вид $— \frac{\cos 2a}{\sin^2 a}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.