ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 102 Алимов — Подробные Ответы

Сравнить числа:

1. корень 7 степени ((1/2- 1/3)2) и корень 7 степени ((1/3- 1/4)2);
2. корень 5 степени ((1*1/4- 1*1/5)3) и корень 5 степени ((1*1/6- 1*1/7)3).

Сравнить числа:

1). $\sqrt[7]{\left( \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right)^2}$ и $\sqrt[7]{\left( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \right)^2}$;

$$\sqrt[7]{\left( \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right)^2} = \left( \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right)^{\frac{2}{7}} = \left( \frac{3 — 2}{6} \right)^{\frac{2}{7}} = \left( \frac{1}{6} \right)^{\frac{2}{7}} = (6^{-1})^{\frac{2}{7}} = 6^{-\frac{2}{7}}$$ $$\sqrt[7]{\left( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \right)^2} = \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \right)^{\frac{2}{7}} = \left( \frac{4 — 3}{12} \right)^{\frac{2}{7}} = \left( \frac{1}{12} \right)^{\frac{2}{7}} = (12^{-1})^{\frac{2}{7}} = 12^{-\frac{2}{7}}$$ $$6 < 12$$ $$6^{-\frac{2}{7}} > 12^{-\frac{2}{7}}$$

Ответ:$$\sqrt[7]{\left( \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right)^2} > \sqrt[7]{\left( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \right)^2}$$

2). $\sqrt[7]{\left( 1 \frac{1}{4} — 1 \frac{1}{5} \right)^2}$ и $\sqrt[7]{\left( 1 \frac{1}{6} — 1 \frac{1}{7} \right)^2}$;

$$\sqrt[7]{\left( 1 \frac{1}{4} — 1 \frac{1}{5} \right)^2} = \left( 1 \frac{1}{4} — 1 \frac{1}{5} \right)^{\frac{2}{7}} = \left( \frac{1}{4} — \frac{1}{5} \right)^{\frac{2}{7}} = \left( \frac{5 — 4}{20} \right)^{\frac{2}{7}} = \left( \frac{1}{20} \right)^{\frac{2}{7}} = (20^{-1})^{\frac{2}{7}} = 20^{-\frac{2}{7}}$$ $$\sqrt[7]{\left( 1 \frac{1}{6} — 1 \frac{1}{7} \right)^2} = \left( 1 \frac{1}{6} — 1 \frac{1}{7} \right)^{\frac{2}{7}} = \left( \frac{1}{6} — \frac{1}{7} \right)^{\frac{2}{7}} = \left( \frac{7 — 6}{42} \right)^{\frac{2}{7}} = \left( \frac{1}{42} \right)^{\frac{2}{7}} = (42^{-1})^{\frac{2}{7}} = 42^{-\frac{2}{7}}$$ $$20 < 42$$ $$20^{-\frac{2}{7}} > 42^{-\frac{2}{7}}$$

Ответ:$$\sqrt[7]{\left( 1 \frac{1}{4} — 1 \frac{1}{5} \right)^2} > \sqrt[7]{\left( 1 \frac{1}{6} — 1 \frac{1}{7} \right)^2}$$

Часть 1. Сравним

$\sqrt[7]{\left( \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right)^2}$ и $\sqrt[7]{\left( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \right)^2}$

Шаг 1. Вычислим разности дробей

Найдем $\frac{1}{2} — \frac{1}{3}$:

$$\frac{1}{2} — \frac{1}{3} = \frac{3}{6} — \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$$

Найдем $\frac{1}{3} — \frac{1}{4}$:

$$\frac{1}{3} — \frac{1}{4} = \frac{4}{12} — \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$$

Шаг 2. Возведение в квадрат

Возведем полученные значения в квадрат:

$$\left( \frac{1}{6} \right)^2 = \frac{1}{36}, \quad \left( \frac{1}{12} \right)^2 = \frac{1}{144}$$

Шаг 3. Извлечение корня седьмой степени

Извлекаем корень седьмой степени:

$$\sqrt[7]{\frac{1}{36}} = \left( \frac{1}{6} \right)^{\frac{2}{7}}, \quad \sqrt[7]{\frac{1}{144}} = \left( \frac{1}{12} \right)^{\frac{2}{7}}$$

Запишем в виде степеней:

$$(6^{-1})^{\frac{2}{7}} = 6^{-\frac{2}{7}}, \quad (12^{-1})^{\frac{2}{7}} = 12^{-\frac{2}{7}}$$

Шаг 4. Сравнение чисел

Так как $6 < 12$, а степень отрицательная $-\frac{2}{7}$, выполняется неравенство:

$$6^{-\frac{2}{7}} > 12^{-\frac{2}{7}}$$

Вывод:$$\sqrt[7]{\left( \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right)^2} > \sqrt[7]{\left( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \right)^2}$$

Часть 2. Сравним

$\sqrt[7]{\left( 1 \frac{1}{4} — 1 \frac{1}{5} \right)^2}$ и $\sqrt[7]{\left( 1 \frac{1}{6} — 1 \frac{1}{7} \right)^2}$

Шаг 1. Преобразуем смешанные дроби

Запишем их в виде неправильных дробей:

$$1 \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}, \quad 1 \frac{1}{5} = 1 + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$$

$$1 \frac{1}{6} = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}, \quad 1 \frac{1}{7} = 1 + \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$$

Шаг 2. Вычислим разности дробей

Найдем $1 \frac{1}{4} — 1 \frac{1}{5}$:

$$\frac{5}{4} — \frac{6}{5} = \frac{5 \cdot 5 — 6 \cdot 4}{4 \cdot 5} = \frac{25 — 24}{20} = \frac{1}{20}$$

Найдем $1 \frac{1}{6} — 1 \frac{1}{7}$:

$$\frac{7}{6} — \frac{8}{7} = \frac{7 \cdot 7 — 8 \cdot 6}{6 \cdot 7} = \frac{49 — 48}{42} = \frac{1}{42}$$

Шаг 3. Возведение в квадрат

Возведем в квадрат:

$$\left( \frac{1}{20} \right)^2 = \frac{1}{400}, \quad \left( \frac{1}{42} \right)^2 = \frac{1}{1764}$$

Шаг 4. Извлечение корня седьмой степени

Извлекаем корень:

$$\sqrt[7]{\frac{1}{400}} = (20^{-1})^{\frac{2}{7}} = 20^{-\frac{2}{7}}, \quad \sqrt[7]{\frac{1}{1764}} = (42^{-1})^{\frac{2}{7}} = 42^{-\frac{2}{7}}$$

Шаг 5. Сравнение чисел

Так как $20 < 42$, а степень отрицательная $-\frac{2}{7}$, выполняется неравенство:

$$20^{-\frac{2}{7}} > 42^{-\frac{2}{7}}$$

Вывод:$$\sqrt[7]{\left( 1 \frac{1}{4} — 1 \frac{1}{5} \right)^2} > \sqrt[7]{\left( 1 \frac{1}{6} — 1 \frac{1}{7} \right)^2}$$