ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1569 Алимов — Подробные Ответы

Решить систему уравнений и установить, при каких значениях параметров а и b она имеет решение:

1) система

logy(x)+logx(y) =5/2,

x+y=a+a2;

2) система

x2+y2=a2,

logb(x) + logb(y)=2.

1)

$$\begin{cases} \log_y x + \log_x y = \frac{5}{2}; \\ x + y = a + a^2; \end{cases}$$

Первое уравнение:

$$\log_y x + \frac{\log_y y}{\log_y x} — \frac{5}{2} = 0;$$ $$\log_y x + \frac{1}{\log_y x} — \frac{5}{2} = 0 \quad | \cdot 2 \log_y x;$$ $$2 \log_y^2 x — 5 \log_y x + 2 = 0;$$

Пусть $u = \log_y x$, тогда:

$$2u^2 — 5u + 2 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9, \text{тогда:}$$ $$u_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad u_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = 2;$$

Первое значение:

$$\log_y x = \frac{1}{2};$$ $$\log_y x = \log_y y^{\frac{1}{2}};$$ $$x = \sqrt{y};$$

Второе значение:

$$\log_y x = 2;$$ $$\log_y x = \log_y y^2;$$ $$x = y^2;$$

Первая система уравнений:

$$\begin{cases} x = \sqrt{y} \\ x + y = a + a^2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x^2 \\ x + y — (a + a^2) = 0 \end{cases};$$ $$x^2 + x — (a + a^2) = 0;$$ $$D = 1^2 + 4(a + a^2) = 1 + 4a + 4a^2 = (2a + 1)^2, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-1 — (2a + 1)}{2} = \frac{-2 — 2a}{2} = -a — 1;$$ $$x_2 = \frac{-1 + 2a + 1}{2} = \frac{2a}{2} = a;$$ $$y_1 = (-a — 1)^2 = (a + 1)^2;$$ $$y_2 = a^2;$$

Вторая система уравнений:

$$\begin{cases} x = y^2 \\ x + y = a + a^2 \end{cases};$$ $$y^2 + y — (a + a^2) = 0;$$ $$D = 1^2 + 4(a + a^2) = 1 + 4a + 4a^2 = (2a + 1)^2, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — (2a + 1)}{2} = \frac{-2 — 2a}{2} = -a — 1;$$ $$y_2 = \frac{-1 + 2a + 1}{2} = \frac{2a}{2} = a;$$ $$x_1 = (-a — 1)^2 = (a + 1)^2;$$ $$x_2 = a^2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$a > 0;$$ $$-a — 1 > 0, \text{отсюда } a < -1;$$ $$a \neq 1;$$ $$-a — 1 \neq 1, \text{отсюда } a \neq -2;$$

Ответ:

$$(a; a^2) \text{ и } (a^2; a), \text{если } a > 0 \text{ и } a \neq 1;$$ $$(-a — 1; (a + 1)^2) \text{ и } ((a + 1)^2; -a — 1), \text{если } a < -1 \text{ и } a \neq -2.$$

2)

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ \log_b x + \log_b y = 2; \end{cases}$$

Второе уравнение:

$$\log_b xy = 2;$$ $$\log_b xy = \log_b b^2;$$ $$xy = b^2, \text{отсюда } x = \frac{b^2}{y};$$

Подставим значение $x$ в первое уравнение:

$$\left( \frac{b^2}{y} \right)^2 + y^2 = a^2 \quad | \cdot y^2;$$ $$b^4 + y^4 = a^2 y^2;$$ $$y^4 — a^2 y^2 + b^4 = 0;$$

Пусть $z = y^2$, тогда:

$$z^2 — a^2 z + b^4 = 0;$$ $$D = (a^2)^2 — 4b^4 = a^4 — 4b^4, \text{тогда:}$$ $$z = \frac{a^2 \pm \sqrt{a^4 — 4b^4}}{2};$$ $$y = \pm \sqrt{\frac{a^2 \pm \sqrt{a^4 — 4b^4}}{2}};$$ $$x = b^2 : \left( \pm \sqrt{\frac{a^2 \pm \sqrt{a^4 — 4b^4}}{2}} \right) = \pm \sqrt{\frac{2b^4}{a^2 \pm \sqrt{a^4 — 4b^4}}};$$

Выражение имеет смысл при:

$$b \neq 1, \quad b \neq 0;$$ $$x > 0 \text{ и } y > 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$a^2 \pm \sqrt{a^4 — 4b^4} > 0;$$ $$a^4 \pm (a^4 — 4b^4) > 0;$$ $$4b^4 > 0, \text{отсюда } b \neq 0;$$ $$2a^4 — 4b^4 > 0;$$ $$2(a^2 — \sqrt{2}b^2)(a^2 + \sqrt{2}b^2) > 0;$$ $$a^2 — \sqrt{2}b^2 > 0;$$

Ответ:

$$\left( \sqrt{\frac{2b^4}{a^2 — \sqrt{a^4 — 4b^4}}}; \sqrt{\frac{a^2 — \sqrt{a^4 — 4b^4}}{2}} \right);$$ $$\left( \sqrt{\frac{2b^4}{a^2 + \sqrt{a^4 — 4b^4}}}; \sqrt{\frac{a^2 + \sqrt{a^4 — 4b^4}}{2}} \right), \text{если } a^2 — \sqrt{2}b^2 > 0, b \neq 0, b \neq 1.$$

1) Рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{cases} \log_y x + \log_x y = \frac{5}{2}; \\ x + y = a + a^2. \end{cases}$$

Шаг 1: Решение первого уравнения

Перепишем первое уравнение:

$$\log_y x + \log_x y = \frac{5}{2}.$$

Используем свойство логарифмов: $\log_x y = \frac{1}{\log_y x}$. Подставим это в уравнение:

$$\log_y x + \frac{1}{\log_y x} = \frac{5}{2}.$$

Обозначим $u = \log_y x$. Тогда уравнение примет вид:

$$u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}.$$

Теперь умножим обе стороны на $2u$:

$$2u^2 + 2 = 5u.$$

Перепишем уравнение:

$$2u^2 — 5u + 2 = 0.$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Решим квадратное уравнение $2u^2 — 5u + 2 = 0$ с помощью дискриминанта. Найдем дискриминант $D$:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9.$$

Корни уравнения:

$$u_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad u_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2.$$

Шаг 3: Найдем значения $x$

Теперь рассмотрим два возможных значения $u = \log_y x$:

Если $u = \frac{1}{2}$, то $\log_y x = \frac{1}{2}$. Это означает:

$$x = y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{y}.$$

Если $u = 2$, то $\log_y x = 2$. Это означает:

$$x = y^2.$$

Шаг 4: Подставляем в систему уравнений

Теперь рассмотрим систему уравнений для двух случаев:

Когда $x = \sqrt{y}$:

Подставим это в уравнение $x + y = a + a^2$:

$$\sqrt{y} + y = a + a^2.$$

Преобразуем это уравнение:

$$y + \sqrt{y} — (a + a^2) = 0.$$

Пусть $z = \sqrt{y}$, тогда $y = z^2$, и уравнение превращается в:

$$z^2 + z — (a + a^2) = 0.$$

Решим это квадратное уравнение относительно $z$:

$$D = 1^2 + 4(a + a^2) = 1 + 4a + 4a^2 = (2a + 1)^2.$$

Корни уравнения:

$$z_1 = \frac{-1 — (2a + 1)}{2} = \frac{-2 — 2a}{2} = -a — 1,$$ $$z_2 = \frac{-1 + 2a + 1}{2} = \frac{2a}{2} = a.$$

Поскольку $z = \sqrt{y}$, то $z \geq 0$, значит $z_1$ не подходит, а $z_2 = a$.

Таким образом:

$$y = z^2 = a^2, \quad x = \sqrt{y} = a.$$

Когда $x = y^2$:

Подставим это в уравнение $x + y = a + a^2$:

$$y^2 + y = a + a^2.$$

Это уравнение также можно записать как:

$$y^2 + y — (a + a^2) = 0.$$

Решим его с помощью дискриминанта:

$$D = 1^2 + 4(a + a^2) = 1 + 4a + 4a^2 = (2a + 1)^2.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-1 — (2a + 1)}{2} = \frac{-2 — 2a}{2} = -a — 1,$$ $$y_2 = \frac{-1 + 2a + 1}{2} = \frac{2a}{2} = a.$$

Поскольку $y \geq 0$, то $y_1$ не подходит, а $y_2 = a$.

Таким образом:

$$x = y^2 = a^2, \quad y = a.$$

Шаг 5: Вывод решения

Итак, мы получаем два возможных набора значений для $x$ и $y$:

1. $x = a, \, y = a^2$,
2. $x = a^2, \, y = a$.

Проверим, что оба набора значений удовлетворяют исходной системе:

Для первого случая:

$$x + y = a + a^2, \quad \log_y x + \log_x y = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}.$$

Для второго случая:

$$x + y = a + a^2, \quad \log_y x + \log_x y = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}.$$

Ответ:

$$(a; a^2) \text{ и } (a^2; a), \text{если } a > 0 \text{ и } a \neq 1;$$ $$(-a — 1; (a + 1)^2) \text{ и } ((a + 1)^2; -a — 1), \text{если } a < -1 \text{ и } a \neq -2.$$

2) Рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2; \\ \log_b x + \log_b y = 2. \end{cases}$$

Шаг 1: Преобразование второго уравнения

Из второго уравнения:

$$\log_b x + \log_b y = 2,$$

используем свойство логарифмов:

$$\log_b (xy) = 2.$$

Это означает:

$$xy = b^2, \quad x = \frac{b^2}{y}.$$

Шаг 2: Подставим в первое уравнение

Подставим $x = \frac{b^2}{y}$ в первое уравнение:

$$\left( \frac{b^2}{y} \right)^2 + y^2 = a^2.$$

Умножим обе части на $y^2$:

$$b^4 + y^4 = a^2 y^2.$$

Перепишем это уравнение:

$$y^4 — a^2 y^2 + b^4 = 0.$$

Шаг 3: Замена переменной

Пусть $z = y^2$. Тогда уравнение превращается в квадратное относительно $z$:

$$z^2 — a^2 z + b^4 = 0.$$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Найдем дискриминант:

$$D = (a^2)^2 — 4b^4 = a^4 — 4b^4.$$

Корни уравнения:

$$z = \frac{a^2 \pm \sqrt{a^4 — 4b^4}}{2}.$$

Таким образом, получаем два возможных значения для $y$:

$$y = \pm \sqrt{\frac{a^2 \pm \sqrt{a^4 — 4b^4}}{2}}.$$

Шаг 5: Найдем значения для $x$

Используя $x = \frac{b^2}{y}$, получаем:

$$x = \pm \sqrt{\frac{2b^4}{a^2 \pm \sqrt{a^4 — 4b^4}}}.$$

Шаг 6: Условия для существования решений

Чтобы выражения имели смысл, нужно, чтобы:

$$b \neq 0, \quad b \neq 1, \quad x > 0, \quad y > 0.$$

Кроме того, должны выполняться условия:

$$a^2 \pm \sqrt{a^4 — 4b^4} > 0.$$

Ответ:

$$\left( \sqrt{\frac{2b^4}{a^2 — \sqrt{a^4 — 4b^4}}}; \sqrt{\frac{a^2 — \sqrt{a^4 — 4b^4}}{2}} \right),$$ $$\left( \sqrt{\frac{2b^4}{a^2 + \sqrt{a^4 — 4b^4}}}; \sqrt{\frac{a^2 + \sqrt{a^4 — 4b^4}}{2}} \right), \text{если } a^2 — \sqrt{2}b^2 > 0, b \neq 0, b \neq 1.$$