ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1384 Алимов — Подробные Ответы

1. tg2 3x — 4sin2 3x=0;
2. sinxtgx=cosx+tgx;
3. ctgx(ctgx+1/sinx)=1;
4. 4ctg2 x=5 — 9/sinx.

1) $\operatorname{tg}^2 3x — 4 \sin^2 3x = 0$

$$\frac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x} — \frac{4 \sin^2 3x \cdot \cos^2 3x}{\cos^2 3x} = 0;$$ $$\frac{\sin^2 3x \cdot (1 — 4 \cos^2 3x)}{\cos^2 3x} = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 3x = 0;$$ $$3x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{3};$$

Второе уравнение:

$$1 — 4 \cos^2 3x = 0;$$ $$4 \cos^2 3x = 1;$$ $$\cos^2 3x = \frac{1}{4};$$ $$\cos 3x = \pm \frac{1}{2};$$ $$3x = \pm \arccos \frac{1}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \left( \pm \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos 3x \neq 0;$$ $$3x \neq \arccos 0 + \pi n \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi n}{3}; \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$.

2) $\sin x \cdot \operatorname{tg} x = \cos x + \operatorname{tg} x$

$$\sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \cos x + \frac{\sin x}{\cos x};$$ $$\frac{\sin^2 x}{\cos x} = \frac{\cos^2 x + \sin x}{\cos x};$$ $$\frac{\sin^2 x — \cos^2 x — \sin x}{\cos x} = 0;$$ $$\frac{\sin^2 x — (1 — \sin^2 x) — \sin x}{\cos x} = 0;$$ $$\frac{2 \sin^2 x — \sin x — 1}{\cos x} = 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$2y^2 — y — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = -\frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x = 1;$$ $$x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \arccos 0 + \pi n \neq \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

3) $\operatorname{ctg} x \cdot \left( \operatorname{ctg} x + \frac{1}{\sin x} \right) = 1$

$$\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \left( \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x} \right) = 1;$$ $$\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\cos x + 1}{\sin x} = 1;$$ $$\frac{\cos^2 x + \cos x}{\sin^2 x} — 1 = 0;$$ $$\cos^2 x + \cos x — \sin^2 x = 0;$$ $$\cos x + \cos x — (1 — \cos^2 x) = 0;$$ $$2 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$2y^2 + y — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};$$

Первое уравнение:

$$\cos x = -1;$$ $$x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \arcsin 0 + \pi n \neq \pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

4) $4 \operatorname{ctg}^2 x = 5 — \frac{9}{\sin x}$

$$4 \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{5 \sin x — 9}{\sin x};$$ $$4 \cos^2 x = 5 \sin^2 x — 9 \sin x;$$ $$4 — 4 \sin^2 x — 5 \sin^2 x + 9 \sin x = 0;$$ $$-9 \sin^2 x + 9 \sin x + 4 = 0;$$ $$9 \sin^2 x — 9 \sin x — 4 = 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$9y^2 — 9y — 4 = 0;$$ $$D = 9^2 + 4 \cdot 9 \cdot 4 = 81 + 144 = 225, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{9 — 15}{2 \cdot 9} = -\frac{6}{18} = -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 9} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3};$$

Первое уравнение:

$$\sin x = -\frac{1}{3};$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x = \frac{4}{3} — \text{корней нет};$$

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \arcsin 0 + \pi n \neq \pi n;$$

Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n$.

1) $\operatorname{tg}^2 3x — 4 \sin^2 3x = 0$

Шаг 1: Преобразование уравнения.

Рассмотрим уравнение:

$$\operatorname{tg}^2 3x — 4 \sin^2 3x = 0.$$

Мы можем заменить тангенс через синус и косинус:

$$\operatorname{tg}^2 3x = \frac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x}.$$

Подставляем это в уравнение:

$$\frac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x} — 4 \sin^2 3x = 0.$$

Теперь преобразуем это уравнение:

$$\frac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x} — \frac{4 \sin^2 3x \cdot \cos^2 3x}{\cos^2 3x} = 0.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{\sin^2 3x \cdot (1 — 4 \cos^2 3x)}{\cos^2 3x} = 0.$$

Уравнение будет равно нулю, если числитель равен нулю:

$$\sin^2 3x \cdot (1 — 4 \cos^2 3x) = 0.$$

Это уравнение делится на два подслучая.

Шаг 2: Рассмотрим первый случай: $\sin 3x = 0$

Для решения уравнения $\sin 3x = 0$, используем стандартное решение:

$$3x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом:

$$x = \frac{\pi n}{3}.$$

Шаг 3: Рассмотрим второй случай: $1 — 4 \cos^2 3x = 0$

Решаем это уравнение:

$$1 — 4 \cos^2 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad 4 \cos^2 3x = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2 3x = \frac{1}{4}.$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos 3x = \pm \frac{1}{2}.$$

Решаем уравнение для каждого из случаев:

$\cos 3x = \frac{1}{2}$:

$$3x = \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Таким образом:

$$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}.$$

$\cos 3x = -\frac{1}{2}$:

$$3x = \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Таким образом:

$$x = \frac{1}{3} \left( \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) = \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Шаг 4: Ограничение на решение

Для выражения $\cos 3x \neq 0$, необходимо исключить значения, при которых $\cos 3x = 0$, а именно:

$$3x \neq \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Это даст нам ограничение:

$$x \neq \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}.$$

Ответ для первого уравнения:

$$x = \frac{\pi n}{3}; \quad x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi n}{3}.$$

2) $\sin x \cdot \operatorname{tg} x = \cos x + \operatorname{tg} x$

Шаг 1: Преобразование уравнения.

Рассмотрим исходное уравнение:

$$\sin x \cdot \operatorname{tg} x = \cos x + \operatorname{tg} x.$$

Подставим $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \cos x + \frac{\sin x}{\cos x}.$$

Умножим обе стороны на $\cos x$:

$$\sin^2 x = \cos^2 x + \sin x.$$

Теперь переносим все на одну сторону:

$$\sin^2 x — \cos^2 x — \sin x = 0.$$

Используем тождество $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$, чтобы заменить $\cos^2 x$:

$$\sin^2 x — (1 — \sin^2 x) — \sin x = 0.$$

Упрощаем:

$$2 \sin^2 x — \sin x — 1 = 0.$$

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение.

Пусть $y = \sin x$, тогда у нас получается квадратное уравнение:

$$2y^2 — y — 1 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.$$

Теперь находим корни:

$$y_1 = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1.$$

Шаг 3: Решение для $\sin x = -\frac{1}{2}$.

Для первого уравнения:

$$\sin x = -\frac{1}{2}.$$

Решение:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Шаг 4: Решение для $\sin x = 1$.

Для второго уравнения:

$$\sin x = 1.$$

Решение:

$$x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Шаг 5: Ограничение на решение.

Выражение имеет смысл, если:

$$\cos x \neq 0.$$

То есть, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Ответ для второго уравнения:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

3) $\operatorname{ctg} x \cdot \left( \operatorname{ctg} x + \frac{1}{\sin x} \right) = 1$

Шаг 1: Преобразование уравнения.

Запишем исходное уравнение:

$$\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \left( \frac{\cos x}{\sin x} + \frac{1}{\sin x} \right) = 1.$$

Умножаем:

$$\frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{\cos x + 1}{\sin x} = 1.$$

Упростим:

$$\frac{\cos^2 x + \cos x}{\sin^2 x} = 1.$$

Переносим 1 на левую сторону:

$$\frac{\cos^2 x + \cos x}{\sin^2 x} — 1 = 0.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{\cos^2 x + \cos x — \sin^2 x}{\sin^2 x} = 0.$$

Тогда числитель равен нулю:

$$\cos^2 x + \cos x — \sin^2 x = 0.$$

Применяем тождество $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$:

$$\cos^2 x + \cos x — (1 — \cos^2 x) = 0.$$

Упрощаем:

$$2 \cos^2 x + \cos x — 1 = 0.$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения.

Пусть $y = \cos x$, тогда у нас получается квадратное уравнение:

$$2y^2 + y — 1 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.$$

Находим корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{4} = -1, \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Решение для $\cos x = -1$.

Для первого уравнения:

$$\cos x = -1.$$

Решение:

$$x = \pi + 2\pi n.$$

Шаг 4: Решение для $\cos x = \frac{1}{2}$.

Для второго уравнения:

$$\cos x = \frac{1}{2}.$$

Решение:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Шаг 5: Ограничение на решение.

Выражение имеет смысл, если:

$$\sin x \neq 0.$$

То есть, $x \neq \pi n$.

Ответ для третьего уравнения:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

4) $4 \operatorname{ctg}^2 x = 5 — \frac{9}{\sin x}$

Шаг 1: Преобразование уравнения.

Запишем исходное уравнение:

$$4 \cdot \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{5 \sin x — 9}{\sin x}.$$

Умножаем обе части на $\sin^2 x$:

$$4 \cos^2 x = 5 \sin^2 x — 9 \sin x.$$

Переносим все на одну сторону:

$$4 — 4 \sin^2 x — 5 \sin^2 x + 9 \sin x = 0.$$

Упрощаем:

$$-9 \sin^2 x + 9 \sin x + 4 = 0.$$

Умножаем обе части на $-1$:

$$9 \sin^2 x — 9 \sin x — 4 = 0.$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения.

Пусть $y = \sin x$, тогда у нас получается квадратное уравнение:

$$9y^2 — 9y — 4 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 9^2 + 4 \cdot 9 \cdot 4 = 81 + 144 = 225.$$

Находим корни:

$$y_1 = \frac{9 — 15}{18} = -\frac{1}{3}, \quad y_2 = \frac{9 + 15}{18} = \frac{4}{3}.$$

Шаг 3: Решение для $\sin x = -\frac{1}{3}$.

Для первого уравнения:

$$\sin x = -\frac{1}{3}.$$

Решение:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n.$$

Шаг 4: Решение для $\sin x = \frac{4}{3}$.

Это значение невозможно, так как $\sin x$ не может быть больше 1.

Шаг 5: Ограничение на решение.

Выражение имеет смысл, если:

$$\sin x \neq 0.$$

То есть, $x \neq \pi n$.

Ответ для четвертого уравнения:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{3} + \pi n.$$