ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1022 Алимов — Подробные Ответы

1. параболой у = -х2 + 4х — 3 и прямой, проходящей через точки (1; 0) и (0; -3);
2. параболой у — -х2 и прямой у = -2;
3. параболами у = 1-х2 и у = х2 — 1;
4. графиком функции у = х3 и прямыми у = 1, х = -2.

$y = -x^2 + 4x — 3$ и точки $(1; 0)$ и $(0; -3)$;

Уравнение прямой:

$$\begin{cases} 0 = k \cdot 1 + b \\ -3 = k \cdot 0 + b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0 = k — 3 \\ b = -3 \end{cases};$$

$0 = k — 3$, отсюда $k = 3$;

$$y = 3x — 3;$$

Точки пересечения функций:

$$-x^2 + 4x — 3 = 3x — 3;$$ $$-x^2 + 4x = 3x;$$ $$x^2 + 3x — 4x = 0;$$ $$x^2 — x = 0;$$ $$x \cdot (x — 1) = 0;$$ $$x_1 = 0 \text{ и } x_2 = 1;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{1} \left( (-x^2 + 4x) — 3x \right) dx = \left( -\frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} — 3 \cdot \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{0}^{1} =$$ $$= \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{0}^{1} =$$ $$= -\frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + \frac{0^3}{3} — \frac{0^2}{2} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6};$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{6}}$.

$y = -x^2$ и $y = -2$;

Перенесем обе функции на 2 единицы вверх:

$$y = -x^2 + 2 \text{ и } y = 0;$$

Пересечения с осью $x$:

$$-x^2 + 2 > 0;$$ $$x^2 < 2;$$ $$-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2};$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \left( -x^2 + 2 \right) dx = \left( -\frac{x^3}{3} + 2x \right) \bigg|_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} =$$ $$= -\frac{(\sqrt{2})^3}{3} + 2\sqrt{2} + \frac{(-\sqrt{2})^3}{3} — 2 \cdot (-\sqrt{2}) = -\frac{2\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2} — \frac{2\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2} =$$ $$= 4\sqrt{2} — \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{12\sqrt{2}}{3} — \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3};$$

Ответ: $\boxed{\frac{8\sqrt{2}}{3}}$.

$y = 1 — x^2$ и $y = x^2 — 1$;

Точки пересечения функций:

$$1 — x^2 = x^2 — 1;$$ $$x^2 + x^2 = 1 + 1;$$ $$2x^2 = 2;$$ $$x^2 = 1, \text{ отсюда } x = \pm 1;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-1}^{1} \left( (2 — x^2) — x^2 \right) dx = \left( 2 \cdot \frac{x^1}{1} — \frac{x^3}{3} — \frac{x^3}{3} \right) \bigg|_{-1}^{1} =$$ $$= \left( 2x — \frac{2x^3}{3} \right) \bigg|_{-1}^{1} =$$ $$= 2 \cdot 1 — \frac{2 \cdot 1^3}{3} — 2 \cdot (-1) + \frac{2 \cdot (-1)^3}{3} = 2 — \frac{2}{3} + 2 — \frac{2}{3} = 4 — \frac{4}{3} = 2 \frac{2}{3};$$

Ответ: $\boxed{2 \frac{2}{3}}$.

$y = x^3$, $y = 1$, $x = -2$;

Точки пересечения функций:

$$x^3 = 1, \text{ отсюда } x = 1;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-2}^{1} \left( 1 — x^3 \right) dx = \left( x — \frac{x^4}{4} \right) \bigg|_{-2}^{1} =$$ $$= 1 — \frac{1^4}{4} — (-2) + \frac{(-2)^4}{4} =$$ $$= 1 — \frac{1}{4} + 2 + \frac{16}{4} = 3 — \frac{1}{4} + 4 = 7 — \frac{1}{4} = 6 \frac{3}{4};$$

Ответ: $\boxed{6 \frac{3}{4}}$.

1) $y = -x^2 + 4x — 3$ и точки $(1;\ 0)$, $(0;\ -3)$

Шаг 1: Найдём уравнение прямой по двум точкам

Ищем уравнение прямой, проходящей через две точки:
$(x_1, y_1) = (1, 0)$ и $(x_2, y_2) = (0, -3)$

Формула уравнения прямой через две точки:

$$k = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = \frac{-3 — 0}{0 — 1} = \frac{-3}{-1} = 3$$

Теперь подставим $k = 3$ в уравнение $y = kx + b$ и найдём $b$, подставляя любую точку, например $(1, 0)$:

$$0 = 3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 0 — 3 = -3$$

Уравнение прямой:

$$y = 3x — 3$$

Шаг 2: Найдём точки пересечения прямой и параболы

Уравнения:

• Парабола: $y = -x^2 + 4x — 3$
• Прямая: $y = 3x — 3$

Приравниваем правые части:

$$-x^2 + 4x — 3 = 3x — 3$$

Переносим все члены в одну сторону:

$$-x^2 + 4x — 3 — 3x + 3 = 0 \Rightarrow -x^2 + x = 0 \Rightarrow x(-x + 1) = 0$$

Отсюда:

$$x = 0 \quad \text{или} \quad x = 1$$

Находим соответствующие $y$, подставив в уравнение прямой:

• $x = 0 \Rightarrow y = 3 \cdot 0 — 3 = -3$
• $x = 1 \Rightarrow y = 3 \cdot 1 — 3 = 0$

Точки пересечения: $(0; -3)$ и $(1; 0)$

Шаг 3: Найдём площадь фигуры между графиками

Разность между функциями:

$$f(x) = (-x^2 + 4x — 3) — (3x — 3) = -x^2 + x$$

Интеграл:

$$S = \int_{0}^{1} (-x^2 + x)\,dx$$

Рассчитаем:

$$\int (-x^2 + x)\,dx = \int -x^2\,dx + \int x\,dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}$$

Подставляем пределы:

$$S = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \right) — (0 + 0) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$-\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$$

Ответ к пункту 1:

$$\boxed{\frac{1}{6}}$$

2) $y = -x^2$ и $y = -2$

Шаг 1: Перенос графиков на 2 вверх

Чтобы упростить расчёт, перенесём оба графика на 2 вверх:

• $y = -x^2 \Rightarrow y = -x^2 + 2$
• $y = -2 \Rightarrow y = 0$

Теперь ищем площадь между $y = -x^2 + 2$ и осью $Ox$

Шаг 2: Найдём точки пересечения с осью $Ox$

$$-x^2 + 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$$

Шаг 3: Найдём площадь под графиком

$$S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (-x^2 + 2)\,dx$$

Вычислим интеграл:

$$\int (-x^2 + 2)\,dx = -\frac{x^3}{3} + 2x$$

Подставим пределы:

$$S = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x\right]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} =$$

Вычислим отдельно:

• Для $x = \sqrt{2}$:

$$-\frac{(\sqrt{2})^3}{3} + 2\sqrt{2} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2}$$

• Для $x = -\sqrt{2}$:

$$-\left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} — 2\sqrt{2} \right) = \frac{2\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2}$$

Сложим оба значения:

$$S = \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2} \right) + \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} + 2\sqrt{2} \right) = 4\sqrt{2} — \frac{4\sqrt{2}}{3}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{12\sqrt{2} — 4\sqrt{2}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}$$

Ответ к пункту 2:

$$\boxed{\frac{8\sqrt{2}}{3}}$$

3) $y = 1 — x^2$ и $y = x^2 — 1$

Шаг 1: Найдём точки пересечения

$$1 — x^2 = x^2 — 1 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1$$

Шаг 2: Определим, какая функция выше

В интервале $x \in (-1, 1)$:

• $y = 1 — x^2$ — парабола, ветви вниз, вершина выше.
• $y = x^2 — 1$ — парабола, ветви вверх, вершина ниже.

Поэтому: верхняя функция — $1 — x^2$, нижняя — $x^2 — 1$

Найдём разность:

$$(1 — x^2) — (x^2 — 1) = 2 — 2x^2$$

Шаг 3: Интеграл

$$S = \int_{-1}^{1} (2 — 2x^2)\,dx = 2 \int_{-1}^{1} (1 — x^2)\,dx$$ $$\int (1 — x^2) dx = x — \frac{x^3}{3}$$

Подставим пределы:

$$\left(x — \frac{x^3}{3}\right) \Big|_{-1}^{1} = \left(1 — \frac{1}{3}\right) — \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2$$

Теперь умножаем на 2:

$$S = 2 \cdot 2 = 4$$

Но это противоречит ранее полученному: нужно перепроверить. Используем разность как:

$$(2 — 2x^2) = 2(1 — x^2) \Rightarrow \int_{-1}^{1} 2(1 — x^2)\,dx = 2 \cdot \left[ x — \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = 2 \cdot \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{8}{3}$$

Ошибка в предыдущем шаге: верная разность —

$$(1 — x^2) — (x^2 — 1) = 2 — 2x^2 \Rightarrow S = \int_{-1}^{1} (2 — 2x^2) dx = 2 \cdot \int_{-1}^{1} (1 — x^2) dx = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$

Но по условию подставлено:

$$S = \int_{-1}^{1} \left(2x — \frac{2x^3}{3}\right) dx = 2x — \frac{2x^3}{3} \Big|_{-1}^{1} = 2 — \frac{2}{3} — (-2 + \frac{2}{3}) = 4 — \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$$

Ответ к пункту 3:

$$\boxed{2\frac{2}{3}} = \boxed{\frac{8}{3}}$$

4) $y = x^3$, $y = 1$, $x = -2$

Шаг 1: Найдём точку пересечения

$$x^3 = 1 \Rightarrow x = 1$$

Площадь между графиками на отрезке от $x = -2$ до $x = 1$

Шаг 2: Найдём разность функций

Верхняя функция: $y = 1$, нижняя: $y = x^3$

Разность: $1 — x^3$

Шаг 3: Интеграл

$$S = \int_{-2}^{1} (1 — x^3) dx = \int 1\,dx — \int x^3 dx = x — \frac{x^4}{4}$$

Подставим пределы:

• Для $x = 1$:

$$1 — \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

• Для $x = -2$:

$$-2 — \frac{(-2)^4}{4} = -2 — \frac{16}{4} = -6$$

Теперь разность:

$$S = \frac{3}{4} — (-6) = \frac{3}{4} + 6 = 6\frac{3}{4}$$

Ответ к пункту 4:

$$\boxed{6\frac{3}{4}}$$