ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 304 Алимов — Подробные Ответы

Выразить данный логарифм через натуральный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:

1. log7(5);
2. log8(15);
3. log0,7(9);
4. log1,1(0,23).

Выразить данный логарифм через натуральный, вычислить его значение на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:

1. $\log_{7} 5 = \frac{\ln 5}{\ln 7} \approx \frac{1,60943}{1,94591} \approx 0,83$;
2. $\log_{8} 15 = \frac{\ln 15}{\ln 8} \approx \frac{2,70805}{2,07944} \approx 1,30$;
3. $\log_{0,7} 9 = \frac{\ln 9}{\ln 0,7} \approx \frac{2,19722}{-0,35667} \approx -6,16$;
4. $\log_{1,1} 0,23 = \frac{\ln 0,23}{\ln 1,1} \approx \frac{-1,46968}{0,09531} \approx -15,42$

Выразить логарифмы через натуральный и вычислить с точностью до 0,01:

Обозначение: $\ln x = \log_e x$ — натуральный логарифм числа $x$, основание $e \approx 2{,}71828$.

Основная формула перехода между основаниями логарифмов

Для любых оснований $a > 0, a \neq 1$, $b > 0, b \neq 1$, и положительного числа $x$ верно:

$$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}.$$

В нашем случае выбираем $b = e$, значит:

$$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}.$$

1) Вычислить $\log_7 5$

Шаг 1. Записываем формулу перехода:

$$\log_7 5 = \frac{\ln 5}{\ln 7}.$$

Шаг 2. Используем значения с калькулятора:

$$\ln 5\approx \mathrm{1,60943},$$

$$\ln 5 \approx 1{,}60943,$$ $$\ln 7 \approx 1{,}94591.$$

Шаг 3. Подставляем:

$$\log_7 5 = \frac{1{,}60943}{1{,}94591}.$$

Шаг 4. Делим:

$$\approx 0{,}8269.$$

Шаг 5. Округляем до двух знаков после запятой:

$$\boxed{0{,}83}.$$

2) Вычислить $\log_8 15$

Шаг 1. Формула перехода:

$$\log_8 15 = \frac{\ln 15}{\ln 8}.$$

Шаг 2. Значения с калькулятора:

$$\ln 15\approx \mathrm{2,70805},$$

$$\ln 15 \approx 2{,}70805,$$ $$\ln 8 \approx 2{,}07944.$$

Шаг 3. Подставляем:

$$\log_8 15 = \frac{2{,}70805}{2{,}07944}.$$

Шаг 4. Делим:

$$\approx 1{,}3029.$$

Шаг 5. Округляем:

$$\boxed{1{,}30}.$$

3) Вычислить $\log_{0,7} 9$

Шаг 1. Формула перехода:

$$\log_{0,7} 9 = \frac{\ln 9}{\ln 0,7}.$$

Шаг 2. Значения с калькулятора:

$$\ln 9\approx \mathrm{2,19722},$$

$$\ln 9 \approx 2{,}19722,$$ $$\ln 0{,}7 \approx -0{,}35667.$$

Шаг 3. Подставляем:

$$\log_{0,7} 9 = \frac{2{,}19722}{-0{,}35667} \approx -6{,}1606.$$

Шаг 4. Округляем:

$$\boxed{-6{,}16}.$$

4) Вычислить $\log_{1,1} 0,23$

Шаг 1. Формула перехода:

$$\log_{1,1} 0,23 = \frac{\ln 0,23}{\ln 1,1}.$$

Шаг 2. Значения с калькулятора:

$$\ln 0,23\approx -\mathrm{1,46968},$$

$$\ln 0,23 \approx -1{,}46968,$$ $$\ln 1,1 \approx 0{,}09531.$$

Шаг 3. Подставляем:

$$\log_{1,1} 0,23 = \frac{-1{,}46968}{0{,}09531} \approx -15{,}421.$$

Шаг 4. Округляем:

$$\boxed{-15{,}42}.$$

Итог