ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 763 Алимов — Подробные Ответы

Найти все решения неравенства, принадлежащие промежутку [-2пи; -пи]:

1. 1 + 2 cos х > = 0;
2. 1 — 2 sin х < 0;
3. 2 + tg х > 0;
4. 1 — 2 tg х < = 0.

1) Дано неравенство:

$$1 + 2 \cos x \geq 0$$

Найдем все решения, принадлежащие промежутку $[-2\pi; -\pi]$.

Решение.

$$\cos x \geq -\frac{1}{2}$$

Найдем решение уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ на промежутке $[-2\pi; -\pi]$:

$$x = -\frac{4\pi}{3}$$

На этом промежутке график $y = \cos x$ лежит выше $y = -\frac{1}{2}$ при $x \in [-2\pi; -\frac{4\pi}{3}]$.

Ответ: $x \in [-2\pi; -\frac{4\pi}{3}]$.

2) Дано неравенство:

$$1 — 2 \sin x < 0$$

Найдем все решения, принадлежащие промежутку $[-2\pi; -\pi]$.

Решение.

$$\sin x > \frac{1}{2}$$

Найдем решение уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$ на промежутке $[-2\pi; -\pi]$:

$$x = -\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}$$

На этом промежутке график $y = \sin x$ лежит выше $y = \frac{1}{2}$ при $x \in \left(-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}\right)$.

Ответ: $x \in \left(-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}\right)$.

3) Дано неравенство:

$$2 + \operatorname{tg} x > 0$$

Найдем все решения, принадлежащие промежутку $[-2\pi; -\pi]$.

Решение.

$$\operatorname{tg} x > -2$$

Найдем решение уравнения $\operatorname{tg} x = -2$ на промежутке $[-2\pi; -\pi]$:

$$x = -\operatorname{arctg} 2 — \pi$$

На этом промежутке график $y = \operatorname{tg} x$ лежит выше $y = -2$ при

$$x \in \left[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}\right) \cup \left(-\operatorname{arctg} 2 — \pi; -\pi\right]$$

Ответ:

$$x \in \left[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}\right) \cup \left(-\operatorname{arctg} 2 — \pi; -\pi\right]$$

4) Дано неравенство:

$$1 — 2 \operatorname{tg} x \leq 0$$

Найдем все решения, принадлежащие промежутку $[-2\pi; -\pi]$.

Решение.

$$\operatorname{tg} x \geq \frac{1}{2}$$

Найдем решение уравнения $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$ на промежутке $[-2\pi; -\pi]$:

$$x = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} — 2\pi$$

На этом промежутке график $y = \operatorname{tg} x$ лежит выше $y = \frac{1}{2}$ при

$$x \in \left[\operatorname{arctg} \frac{1}{2} — 2\pi; -\frac{3\pi}{2}\right)$$

Ответ:

$$x\in [\mathrm{arctg}\frac{1}{2}-2\pi ;-\frac{3\pi }{2})$$

1) Неравенство:

$$1 + 2 \cos x \geq 0$$

Шаг 1. Перепишем неравенство в виде, удобном для анализа:

$$1 + 2 \cos x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad 2 \cos x \geq -1 \quad \Rightarrow \quad \cos x \geq -\frac{1}{2}$$

Шаг 2. Найдём значения $x$, при которых $\cos x = -\frac{1}{2}$.

Из таблиц значений тригонометрических функций известно:

$$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \quad \cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$$

Шаг 3. Учтём, что мы рассматриваем отрицательные значения $x$ в промежутке $[-2\pi; -\pi]$.

Поскольку косинус — чётная функция:

$$\cos(-x) = \cos x$$

Тогда решения уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ в отрицательной области:

$$x = -\frac{2\pi}{3} \quad \text{и} \quad x = -\frac{4\pi}{3}$$

Проверим, какие из этих значений лежат в промежутке $[-2\pi; -\pi]$:

• $-\frac{2\pi}{3} \approx -2.094$ не входит, так как $-2\pi \approx -6.283 < -2.094 > -\pi \approx -3.141$, то есть больше $-\pi$.
• $-\frac{4\pi}{3} \approx -4.188$ входит в промежуток.

Шаг 4. Проанализируем знак функции $\cos x + \frac{1}{2}$ на промежутке.

График косинуса на $[-2\pi; -\pi]$ выглядит так:

• В точке $x = -2\pi$, $\cos (-2\pi) = \cos 2\pi = 1$.
• В точке $x = -\frac{4\pi}{3}$, $\cos x = -\frac{1}{2}$ (граница).
• В точке $x = -\pi$, $\cos (-\pi) = \cos \pi = -1$.

Так как косинус монотонно убывает на $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ и потом растёт на $[- \frac{3\pi}{2}; -\pi]$, то:

• На промежутке $[-2\pi; -\frac{4\pi}{3}]$ функция $\cos x$ выше $-\frac{1}{2}$, то есть $\cos x \geq -\frac{1}{2}$.
• На промежутке $[- \frac{4\pi}{3}; -\pi]$ функция ниже $-\frac{1}{2}$.

Итог:

$$\cos x \geq -\frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad x \in [-2\pi; -\frac{4\pi}{3}]$$

2) Неравенство:

$$1 — 2 \sin x < 0$$

Шаг 1. Перепишем неравенство:

$$1 — 2 \sin x < 0 \quad \Rightarrow \quad -2 \sin x < -1 \quad \Rightarrow \quad \sin x > \frac{1}{2}$$

Шаг 2. Найдём значения $x$, где $\sin x = \frac{1}{2}$.

Из тригонометрии:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Шаг 3. Решения уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$ имеют вид:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 4. Подставим отрицательные $n$, чтобы получить $x$ на промежутке $[-2\pi; -\pi]$:

При $n = -1$:

$$x_1 = \frac{\pi}{6} — 2\pi = \frac{\pi}{6} — \frac{12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$$ $$x_2 = \frac{5\pi}{6} — 2\pi = \frac{5\pi}{6} — \frac{12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$$

Шаг 5. Определим, где $\sin x > \frac{1}{2}$ на $[-2\pi; -\pi]$.

График синуса растёт от $-2\pi$ до $-\frac{3\pi}{2}$, достигает максимума и убывает на $[- \frac{3\pi}{2}; -\pi]$.

• Между корнями $-\frac{11\pi}{6}$ и $-\frac{7\pi}{6}$ синус больше $\frac{1}{2}$.

Итог:

$$\sin x > \frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad x \in \left(-\frac{11\pi}{6}; -\frac{7\pi}{6}\right)$$

3) Неравенство:

$$2 + \operatorname{tg} x > 0$$

Шаг 1. Перепишем:

$$2 + \operatorname{tg} x > 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x > -2$$

Шаг 2. Найдём решения уравнения $\operatorname{tg} x = -2$.

Общее решение:

$$x = \arctan(-2) + \pi n$$ $$\arctan(-2) = -\arctan 2$$

Шаг 3. Найдём значение $-\arctan 2 — \pi$ на промежутке $[-2\pi; -\pi]$.

Шаг 4. Рассмотрим поведение тангенса и решим неравенство на промежутке.

Тангенс периодичен с периодом $\pi$. На $[-2\pi; -\pi]$ он монотонно возрастает от $-\infty$ в точке $-2\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$ до $+\infty$ в точке $-\pi — \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$.

Шаг 5. Корни и интервалы:

• Решение уравнения: $x = -\arctan 2 — \pi$.
• Тангенс растёт, значит:

$$\operatorname{tg} x > -2 \quad \Leftrightarrow \quad x \in \left[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}\right) \cup \left(-\arctan 2 — \pi; -\pi\right]$$

4) Неравенство:

$$1 — 2 \operatorname{tg} x \leq 0$$

Шаг 1. Перепишем:

$$1 — 2 \operatorname{tg} x \leq 0 \quad \Rightarrow \quad \operatorname{tg} x \geq \frac{1}{2}$$

Шаг 2. Решения уравнения $\operatorname{tg} x = \frac{1}{2}$:

$$x = \arctan \frac{1}{2} + \pi n$$

Шаг 3. Найдём корень на промежутке $[-2\pi; -\pi]$:

При $n = -1$:

$$x = \arctan \frac{1}{2} — \pi \approx \arctan 0.5 — 3.1416$$

Шаг 4. Определим интервал решения:

Так как тангенс растёт и периодичен с периодом $\pi$, знак $\operatorname{tg} x — \frac{1}{2}$ меняется в точках $x = \arctan \frac{1}{2} + \pi n$.

На отрезке $[-2\pi; -\pi]$ решение:

$$x \in \left[\arctan \frac{1}{2} — 2\pi; -\frac{3\pi}{2}\right)$$