ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 514 Алимов — Подробные Ответы

Найти числовое значение выражения:

1. 2cos2 пи/8 -1;
2. 1- 2sin2 пи/12;
3. корень 3/2 + 2 sin2 15;
4. -корень 3/2 + 2 cos2 1.

1. $2{\cos }^2\frac{\pi }{8}-1=2\cdot \frac{1+\cos (2\cdot \frac{\pi }{8})}{2}-1=1+\cos \frac{\pi }{4}-1=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
2. $1-2{\sin }^2\frac{\pi }{12}=1-2\cdot \frac{1-\cos (2\cdot \frac{\pi }{12})}{2}=1-(1-\cos \frac{\pi }{6})=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
3. $\frac{\sqrt{3}}{2}+2{\sin }^2{15}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1-\cos (2\cdot {15}^{\circ })}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+(1-\cos {30}^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}=1$
4. $-\frac{\sqrt{3}}{2}+2{\cos }^2{15}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1+\cos (2\cdot {15}^{\circ })}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\cos {30}^{\circ }=$

$=-\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}=1$

1) $2{\cos }^2\frac{\pi }{8}-1$

Исходное выражение:

$$2{\cos }^2\frac{\pi }{8}-1$$

Шаг 1: Используем формулу понижения степени для косинуса

$${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

Шаг 2: Подставляем $x=\frac{\pi }{8}$

$${\cos }^2\frac{\pi }{8}=\frac{1+\cos (2\cdot \frac{\pi }{8})}{2}=\frac{1+\cos \frac{\pi }{4}}{2}$$

Шаг 3: Подставляем обратно в исходное выражение

$$2{\cos }^2\frac{\pi }{8}-1=2\cdot \frac{1+\cos \frac{\pi }{4}}{2}-1=(1+\cos \frac{\pi }{4})-1=\cos \frac{\pi }{4}$$

Шаг 4: Значение $\cos \frac{\pi }{4}$

$$\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Итог:

$$2{\cos }^2\frac{\pi }{8}-1=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

2) $1-2{\sin }^2\frac{\pi }{12}$

Исходное выражение:

$$1-2{\sin }^2\frac{\pi }{12}$$

Шаг 1: Используем формулу понижения степени для синуса

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

Шаг 2: Подставляем $x=\frac{\pi }{12}$

$${\sin }^2\frac{\pi }{12}=\frac{1-\cos (2\cdot \frac{\pi }{12})}{2}=\frac{1-\cos \frac{\pi }{6}}{2}$$

Шаг 3: Подставляем обратно

$$1-2{\sin }^2\frac{\pi }{12}=1-2\cdot \frac{1-\cos \frac{\pi }{6}}{2}=1-(1-\cos \frac{\pi }{6})=\cos \frac{\pi }{6}$$

Шаг 4: Значение $\cos \frac{\pi }{6}$

$$\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Итог:

$$1-2{\sin }^2\frac{\pi }{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

3) $\frac{\sqrt{3}}{2}+2{\sin }^2{15}^{\circ }$

Исходное выражение:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}+2{\sin }^2{15}^{\circ }$$

Шаг 1: Применяем формулу понижения степени для синуса

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

Шаг 2: Подставляем $x={15}^{\circ }$

$${\sin }^2{15}^{\circ }=\frac{1-\cos (2\cdot {15}^{\circ })}{2}=\frac{1-\cos {30}^{\circ }}{2}$$

Шаг 3: Подставляем в исходное выражение

$$\frac{\sqrt{3}}{2}+2{\sin }^2{15}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1-\cos {30}^{\circ }}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+(1-\cos {30}^{\circ })$$

Шаг 4: Значение $\cos {30}^{\circ }$

$$\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 5: Подставляем и упрощаем

$$\frac{\sqrt{3}}{2}+1-\frac{\sqrt{3}}{2}=1$$

Итог:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}+2{\sin }^2{15}^{\circ }=1$$

4) $-\frac{\sqrt{3}}{2}+2{\cos }^2{15}^{\circ }$

Исходное выражение:

$$-\frac{\sqrt{3}}{2}+2{\cos }^2{15}^{\circ }$$

Шаг 1: Формула понижения степени для косинуса

$${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

Шаг 2: Подставляем $x={15}^{\circ }$

$${\cos }^2{15}^{\circ }=\frac{1+\cos (2\cdot {15}^{\circ })}{2}=\frac{1+\cos {30}^{\circ }}{2}$$

Шаг 3: Подставляем в исходное выражение

$$-\frac{\sqrt{3}}{2}+2{\cos }^2{15}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot \frac{1+\cos {30}^{\circ }}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+(1+\cos {30}^{\circ })$$

Шаг 4: Значение $\cos {30}^{\circ }$

$$\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 5: Подставляем и упрощаем

$$-\frac{\sqrt{3}}{2}+1+\frac{\sqrt{3}}{2}=1$$

Итог:

$$-\frac{\sqrt{3}}{2}+2{\cos }^2{15}^{\circ }=1$$