ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 680 Алимов — Подробные Ответы

1. 2 cos Зх = 3 sin x + cosx;
2. cos3x — cos 2x = sin 3x.

Задача 1:

$2\cos 3x=3\sin x+\cos x$

Решение:

$$2\cos 3x+2\cos x=3\sin x+3\cos x$$$$2\cdot 2\cdot \cos \frac{3x+x}{2}\cdot \cos \frac{3x-x}{2}=3(\sin x+\cos x)$$$$4\cdot \cos 2x\cdot \cos x=3(\sin x+\cos x)$$$$4({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)\cdot \cos x=3(\sin x+\cos x)$$$$4(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\cdot \cos x-3(\sin x+\cos x)=0$$$$(\sin x+\cos x)(4{\cos }^{2}x-4\sin x\cdot \cos x-3)=0$$$$4{\cos }^{2}x-4\sin x\cdot \cos x-3=0$$$$4{\cos }^{2}x-4\sin x\cdot \cos x-3({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)=0$$$${\cos }^{2}x-4\sin x\cdot \cos x-3{\sin }^{2}x=0\mathrm{\mid }:{\cos }^{2}x$$$$1-4\mathrm{tg}x-3{\mathrm{tg}}^{2}x=0$$

Пусть $y=\mathrm{tg}x$, тогда:

$$1-4y-3y^2=0$$$$3y^2+4y-1=0$$$$D=4^2+4\cdot 3=16+12=28=4\cdot 7,\text{тогда:}$$$$y=\frac{-4\pm 2\sqrt{7}}{2\cdot 3}=\frac{-2\pm \sqrt{7}}{3}$$

Первое уравнение:

$$\sin x+\cos x=0\mathrm{\mid }:\cos x$$$$\mathrm{tg}x+1=0$$$$\mathrm{tg}x=-1$$$$x=-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$$

Второе уравнение:

$$\mathrm{tg}x=\frac{-2-\sqrt{7}}{3}=-\frac{2+\sqrt{7}}{3}$$$$x=\mathrm{arctg}\frac{2+\sqrt{7}}{3}+\pi n$$

Третье уравнение:

$$\mathrm{tg}x=\frac{-2+\sqrt{7}}{3}$$$$x=\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{7}-2}{3}+\pi n$$

Ответ:

$$-\frac{\pi }{4}+\pi n;-\mathrm{arctg}\frac{2+\sqrt{7}}{3}+\pi n;\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{7}-2}{3}+\pi n$$

Задача 2:

$\cos 3x-\cos 2x=\sin 3x$

Решение:
Воспользуемся формулами тройного угла:

$$4{\cos }^{3}x-3\cos x-\cos 2x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$$$$4({\cos }^{3}x+{\sin }^{3}x)-3(\cos x+\sin x)-\cos 2x=0$$$$4(\cos x+\sin x)({\cos }^{2}x-\cos x\cdot \sin x+{\sin }^{2}x)-3(\cos x+\sin x)-({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=0$$$$4(\cos x+\sin x)(1-\cos x\cdot \sin x)-3(\cos x+\sin x)-({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=0$$$$(\cos x+\sin x)(4-4\cdot (-\frac{1-2\sin x\cdot \cos x-1}{2})-3-(\cos x-\sin x))=0$$$$(\cos x+\sin x)(4+4\cdot \frac{(\sin x-\cos x{)}^2-1}{2}-3-(\cos x-\sin x))=0$$

Пусть $y=\cos x-\sin x$, тогда:

$$4+4\cdot \frac{y^2-1}{2}-3-y=0$$$$4+2y^2-2-3-y=0$$$$2y^2-y-1=0$$$$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,\text{тогда:}$$$$y_1=\frac{1-3}{2\cdot 2}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}\text{и}{y}_2=\frac{1+3}{2\cdot 2}=1$$

Первое уравнение:

$$\cos x+\sin x=0\mathrm{\mid }:\cos x$$$$1+\mathrm{tg}x=0$$$$\mathrm{tg}x=-1$$$$x=-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$$

Второе уравнение:

$$\cos x-\sin x=-\frac{1}{2}\mathrm{\mid }:\sqrt{2}$$$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$$$$\sin \frac{\pi }{4}\cos x-\cos \frac{\pi }{4}\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{4}$$$$\sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{4}$$$$x-\frac{\pi }{4}=(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}+\pi n$$$$x=\frac{\pi }{4}+(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}+\pi n$$

Третье уравнение:

$$\cos x-\sin x=1\mathrm{\mid }:\sqrt{2}$$$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$$\cos \frac{\pi }{4}\cdot \cos x-\sin \frac{\pi }{4}\cdot \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$$\cos (\frac{\pi }{4}+x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$$x+\frac{\pi }{4}=\pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n$$$$x_1=-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+2\pi n=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$$$$x_2=\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{4}+2\pi n=2\pi n$$

Ответ:

$$-\frac{\pi }{4}+\pi n;\frac{\pi }{4}+(-1{)}^n\cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{4}+\pi n;2\pi n;-\frac{\pi }{2}+2\pi n$$

Задача 1:

Найти все решения уравнения:

$$2\cos 3x=3\sin x+\cos x$$

Шаги решения:

$$2\cos 3x+2\cos x=3\sin x+3\cos x$$$$4\cos \frac{3x+x}{2}\cdot \cos \frac{3x-x}{2}=3(\sin x+\cos x)\Rightarrow 4\cos 2x\cdot \cos x=3(\sin x+\cos x)$$$$4({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)\cos x=3(\sin x+\cos x)$$$$4(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)\cos x-3(\sin x+\cos x)=0$$$$(\sin x+\cos x)(4{\cos }^{2}x-4\sin x\cos x-3)=0$$

Рассмотрим случаи:

Случай 1:

$$\sin x+\cos x=0\Rightarrow \mathrm{tg}x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$$

Случай 2:

$$4{\cos }^{2}x-4\sin x\cos x-3=0$$

Выразим всё через $\mathrm{tg}x=y$:

$$\sin x=y\cos x,{\cos }^{2}x=\frac{1}{1+y^2}\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{y}{1+y^2}$$

Подставим:

$$4\cdot \frac{1}{1+y^2}-4\cdot \frac{y}{1+y^2}-3=0\Rightarrow \frac{4-4y-3(1+y^2)}{1+y^2}=0$$$$4-4y-3-3y^2=1-4y-3y^2=0\Rightarrow 3y^2+4y-1=0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=16+12=28\Rightarrow y=\frac{-4\pm \sqrt{28}}{6}=\frac{-2\pm \sqrt{7}}{3}$$

Ответы:

• $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$
• $x=-\mathrm{arctg}\left(\frac{2+\sqrt{7}}{3}\right)+\pi n$
• $x=\mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{7}-2}{3}\right)+\pi n$

Задача 2:

Решить уравнение:

$$\cos 3x-\cos 2x=\sin 3x$$

Подробное решение:

Шаг 1: Формулы тройного и двойного углов

Используем стандартные формулы:

$$\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x,\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1,\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$$

Подставим:

$$(4{\cos }^{3}x-3\cos x)-(2{\cos }^{2}x-1)=3\sin x-4{\sin }^{3}x$$

Раскроем скобки:

$$4{\cos }^{3}x-3\cos x-2{\cos }^{2}x+1=3\sin x-4{\sin }^{3}x$$

Переносим всё в левую часть:

$$4{\cos }^{3}x-2{\cos }^{2}x-3\cos x-3\sin x+4{\sin }^{3}x+1=0$$

Шаг 2: Группируем

Разделим по кубическим, линейным и квадратным частям:

$$[4({\cos }^{3}x+{\sin }^{3}x)]-3(\cos x+\sin x)-2{\cos }^{2}x+1=0$$

Вспомним:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\Rightarrow {\cos }^{3}x+{\sin }^{3}x=(\cos x+\sin x)(1-\cos x\cdot \sin x)$$

Получаем:

$$4(\cos x+\sin x)(1-\cos x\cdot \sin x)-3(\cos x+\sin x)-2{\cos }^{2}x+1=0$$

Шаг 3: Вынесем $(\cos x+\sin x)$ за скобки

$$(\cos x+\sin x)[4(1-\cos x\cdot \sin x)-3]-2{\cos }^{2}x+1=$$

$$=0\Rightarrow (\cos x+\sin x)(1-4\cos x\cdot \sin x)-2{\cos }^{2}x+1=0$$

Шаг 4: Введение замены

Введём замену:

$$y=\cos x-\sin x$$

Выразим:

$$(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\Rightarrow y=\cos x-\sin x$$

Чтобы выразить ${\cos }^{2}x$, вспомним:

$${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$$

Для замены оставим как есть — решим через квадратное уравнение.

Шаг 5: Новый подход — решим через подстановку $y=\cos x-\sin x$

Ранее мы получили уравнение:

$$4({\cos }^{3}x+{\sin }^{3}x)-3(\cos x+\sin x)-\cos 2x=0$$

Уже было преобразовано:

$$(\cos x+\sin x)(4-4\cos x\sin x-3)-({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=$$

$$=0\Rightarrow (\cos x+\sin x)(1-4\cos x\sin x)-({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=0$$

Сделаем замену:

$$a=\cos x+\sin x,b=\cos x-\sin x$$

И:

$$a^2+b^2=2({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)=2\Rightarrow a^2+b^2=2$$

Рассмотрим уравнение:

$$2y^2-y-1=0\Rightarrow y=\cos x-\sin x=1\text{или}-\frac{1}{2}$$

Шаг 6: Решаем $\cos x-\sin x=y$

Случай 1: $\cos x-\sin x=-\frac{1}{2}$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\Rightarrow \sin (x-\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{4}$$

Тогда:

$$x-\frac{\pi }{4}=(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)+\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+(-1{)}^n\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)+\pi n$$

Случай 2: $\cos x-\sin x=1$

Аналогично:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \cos (x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x+\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n$$$$x=0+2\pi n;x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$$

Случай 3: $\cos x+\sin x=0$

$$\Rightarrow \mathrm{tg}x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$$

Итоговый ответ по задаче 2:

$$\boxed{{\displaystyle x=-\frac{\pi }{4}+\pi n;}}$$$$\boxed{{\displaystyle x=\frac{\pi }{4}+(-1{)}^n\cdot \arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)+\pi n;}}$$$$\boxed{{\displaystyle x=2\pi n;}}$$

$$\boxed{{\displaystyle x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n}}$$