ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1342 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (1342—1358).

1. корень (2x+7) = x+2;
2. x=2- корень (2x-5).

1) $\sqrt{2x + 7} = x + 2$;

$2x + 7 = x^2 + 4x + 4$;

$x^2 + 2x — 3 = 0$;

$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16$, тогда:

$x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1$;

Выражение имеет смысл при:

$2x + 7 \geq 0$;

$2x \geq -7$, отсюда $x \geq -3,5$;

Уравнение имеет решения при:

$x + 2 \geq 0$, отсюда $x \geq -2$;

Ответ: $x = 1$.

$x = 2 — \sqrt{2x — 5}$;

$\sqrt{2x — 5} = 2 — x$;

$2x — 5 = 4 — 4x + x^2$;

$x^2 — 6x + 9 = 0$;

$(x — 3)^2 = 0$;

$x — 3 = 0$, отсюда $x = 3$;

Выражение имеет смысл при:

$2x — 5 \geq 0$;

$2x \geq 5$, отсюда $x \geq 2,5$;

Уравнение имеет решения при:

$2 — x \geq 0$, отсюда $x \leq 2$;

Ответ: корней нет.

Уравнение 1: $\sqrt{2x + 7} = x + 2$

Шаг 1: Избавление от модуля

Для того чтобы избавиться от модуля, нужно возвести обе части уравнения в квадрат. Но перед этим нужно удостовериться, что выражение под квадратным корнем и правая часть уравнения имеют смысл.

Шаг 2: Преобразование уравнения

Исходное уравнение:

$$\sqrt{2x + 7} = x + 2$$

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$$(\sqrt{2x + 7})^2 = (x + 2)^2$$ $$2x + 7 = (x + 2)(x + 2)$$

Раскрываем скобки на правой стороне:

$$2x + 7 = x^2 + 4x + 4$$

Шаг 3: Перенос всех членов на одну сторону

Переносим все элементы в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду:

$$2x + 7 — (x^2 + 4x + 4) = 0$$ $$2x + 7 — x^2 — 4x — 4 = 0$$

Упрощаем:

$$-x^2 — 2x + 3 = 0$$

Умножаем все на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака перед $x^2$:

$$x^2 + 2x — 3 = 0$$

Шаг 4: Решение квадратного уравнения

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

$$x^2 + 2x — 3 = 0$$

Для этого вычислим дискриминант:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Так как дискриминант положительный, у уравнения два корня:

$$x_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 — 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Шаг 5: Проверка корней

Теперь необходимо проверить полученные корни, подставив их в исходное уравнение, так как при извлечении корня из выражения могут появиться посторонние решения.

1. Проверка $x = -3$:
   Подставляем $x = -3$ в исходное уравнение:

   $$\sqrt{2(-3) + 7} = -3 + 2$$ $$\sqrt{-6 + 7} = -1$$ $$\sqrt{1} = -1$$

   Это неверно, так как $\sqrt{1} = 1$, а не -1. Значит, $x = -3$ не является решением.

2. Проверка $x = 1$:
   Подставляем $x = 1$ в исходное уравнение:

   $$\sqrt{2(1) + 7} = 1 + 2$$ $$\sqrt{2 + 7} = 3$$ $$\sqrt{9} = 3$$

   Это верно. Следовательно, $x = 1$ является решением.

Ответ: Наибольший корень уравнения — $x = 1$.

Уравнение 2: $x = 2 — \sqrt{2x — 5}$

Шаг 1: Избавление от модуля

Для начала, чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат.

Исходное уравнение:

$$x = 2 — \sqrt{2x — 5}$$

Возводим обе части уравнения в квадрат:

$$x^2 = (2 — \sqrt{2x — 5})^2$$

Раскрываем правую часть:

$$x^2 = 4 — 4\sqrt{2x — 5} + (2x — 5)$$

Упрощаем:

$$x^2 = 4 — 4\sqrt{2x — 5} + 2x — 5$$ $$x^2 = 2x — 1 — 4\sqrt{2x — 5}$$

Шаг 2: Перенос всех членов в одну сторону

Переносим все элементы в левую часть:

$$x^2 — 2x + 1 = -4\sqrt{2x — 5}$$

Далее, возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

$$(x^2 — 2x + 1)^2 = (-4\sqrt{2x — 5})^2$$ $$(x^2 — 2x + 1)^2 = 16(2x — 5)$$

Раскрываем обе стороны:

$$(x^2 — 2x + 1)^2 = x^4 — 4x^3 + 6x^2 — 4x + 1$$

А правая часть:

$$16(2x — 5) = 32x — 80$$

Теперь получаем:

$$x^4 — 4x^3 + 6x^2 — 4x + 1 = 32x — 80$$

Переносим все элементы в одну сторону:

$$x^4 — 4x^3 + 6x^2 — 36x + 81 = 0$$

Шаг 3: Решение полученного уравнения

Решение этого уравнения потребует использования методов для решения четвертого порядка, однако в данном контексте можно использовать численные методы или программы для нахождения корней.

Ответ: Корней в нет

Итоговый ответ:

1. $x = 1$ — наибольший корень для первого уравнения.
2. Корней нет