ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 300 Алимов — Подробные Ответы

Выразить через a и b:

1. log корень 3(50), если log3(15) = a, log 3(10) =b;
2. log4(1250), если log2(5) = a.

Выразить через $a$ и $b$:

$\log_{\sqrt{3}} 50$, если $\log_3 15 = a$ и $\log_3 10 = b$;

$$\log_{\sqrt{3}} 50 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 50 = \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot \log_3 50 = 2 \log_3 (5 \cdot 10) = 2 (\log_3 5 + \log_3 10) =$$ $$= 2 (1 + \log_3 5 + \log_3 10 — 1) = 2 (\log_3 3 + \log_3 5 + \log_3 10 — 1) =$$ $$= 2 (\log_3 (3 \cdot 5) + \log_3 10 — 1) = 2 (\log_3 15 + \log_3 10 — 1) = 2 (a + b — 1);$$

Ответ: $2(a + b — 1)$.

$\log_4 1250$, если $\log_2 5 = a$;

$$\log_4 1250 = \log_{2^2} 1250 = \frac{1}{2} \log_2 (625 \cdot 2) = \frac{1}{2} (\log_2 625 + \log_2 2) =$$ $$= \frac{1}{2} (\log_2 5^4 + 1) = \frac{1}{2} (4 \log_2 5 + 1) = \frac{1}{2} (4a + 1) = 2a + \frac{1}{2};$$

Ответ: $2a + \frac{1}{2}$.

1) Выразить $\log_{\sqrt{3}} 50$ через $a$ и $b$, если

$$\log_3 15 = a, \quad \log_3 10 = b.$$

Шаг 1. Перепишем основание логарифма через степень:

$$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}.$$

Значит:

$$\log_{\sqrt{3}} 50 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 50.$$

Шаг 2. Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_{m^k} n = \frac{1}{k} \log_m n.$$

Тогда:

$$\log_{3^{\frac{1}{2}}} 50 = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_3 50 = 2 \log_3 50.$$

Шаг 3. Разложим число 50 на простые множители, чтобы связать с данными логарифмами:

$$50 = 5 \times 10.$$

Шаг 4. По свойству логарифмов:

$$\log_3 50 = \log_3 (5 \cdot 10) = \log_3 5 + \log_3 10.$$

Шаг 5. Выразим $\log_3 5$ через известные логарифмы.

Из условия известно:

$$a = \log_3 15 = \log_3 (3 \cdot 5) = \log_3 3 + \log_3 5 = 1 + \log_3 5.$$

Отсюда:

$$\log_3 5 = a — 1.$$

Шаг 6. Подставляем в выражение для $\log_3 50$:

$$\log_3 50 = (a — 1) + b = a + b — 1.$$

Шаг 7. Возвращаемся к выражению логарифма с основанием $\sqrt{3}$:

$$\log_{\sqrt{3}} 50 = 2 \log_3 50 = 2 (a + b — 1).$$

Ответ 1):

$$\boxed{2 (a + b — 1)}.$$

2) Выразить $\log_4 1250$ через $a$, если

$$a = \log_2 5.$$

Шаг 1. Перепишем основание логарифма:

$$4 = 2^2,$$

значит:

$$\log_4 1250 = \log_{2^2} 1250.$$

Шаг 2. Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_{m^k} n = \frac{1}{k} \log_m n,$$

откуда:

$$\log_4 1250 = \frac{1}{2} \log_2 1250.$$

Шаг 3. Разложим число 1250 на простые множители:

$$1250 = 625 \times 2 = 5^4 \times 2,$$

так как $625 = 5^4$.

Шаг 4. По свойству логарифмов:

$$\log_2 1250 = \log_2 (5^4 \times 2) = \log_2 5^4 + \log_2 2.$$

Шаг 5. Используем свойства степеней и логарифмов:

$$\log_2 5^4 = 4 \log_2 5 = 4a,$$ $$\log_2 2 = 1.$$

Шаг 6. Складываем:

$$\log_2 1250 = 4a + 1.$$

Шаг 7. Возвращаемся к логарифму с основанием 4:

$$\log_4 1250 = \frac{1}{2} (4a + 1) = 2a + \frac{1}{2}.$$

Ответ 2):

$$\boxed{2a + \frac{1}{2}}.$$