ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 964 Алимов — Подробные Ответы

Из всех равнобедренных треугольников с периметром р найти треугольник с наибольшей площадью.

Пусть $x$ — длина боковой стороны и $a$ — длина основания, тогда:
$p=x+x+a,\text{ отсюда }a=p-2x;$
$h=\sqrt{x^2-\left(\frac{1}{2}{a}^2\right)}=\sqrt{x^2-{\left(\frac{p-2x}{2}\right)}^2}=\sqrt{x^2-\frac{(p-2x{)}^2}{4}}=$

$=\sqrt{x^2-\frac{p^2-4px+4x^2}{4}}=\sqrt{\frac{4x^2-(p^2-4px+4x^2)}{4}}=\sqrt{\frac{4px-p^2}{4}}=\frac{\sqrt{4px-p^2}}{2};$
$S(x)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot (p-2x)\cdot \frac{\sqrt{4px-p^2}}{2}=\frac{1}{4}\cdot (p-2x)\cdot \sqrt{4px-p^2};$

Производная функции:
$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{4}\cdot ((p-2x{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot \sqrt{4px-p^2}+(p-2x)\cdot (\sqrt{4px-p^2}{)}^{\mathrm{\prime }});$
$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{4}\cdot ((-2)\cdot \sqrt{4px-p^2}+(p-2x)\cdot \frac{1}{2}\cdot (4px-p^2{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot (4p));$
$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{4}\cdot (-2\cdot \sqrt{4px-p^2}+(p-2x)\cdot \frac{2p}{\sqrt{4px-p^2}});$
$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}\cdot (-\sqrt{4px-p^2}+\frac{p^2-2px}{\sqrt{4px-p^2}});$
$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{p^2-2px-4px+p^2}{2\sqrt{4px-p^2}};$
$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2p^2-6px}{2\sqrt{4px-p^2}};$
$S^{\mathrm{\prime }}(x)=p\cdot \frac{p-3x}{\sqrt{4px-p^2}};$

Промежуток возрастания:
$p-3x>0;$
$3x<p,\text{ отсюда }x<\frac{p}{3};$

Искомые значения:
$x=\frac{p}{3}\text{ — точка максимума; }$
$a=p-2x=p-2\cdot \frac{p}{3}=\frac{p}{3};$

Ответ: равносторонний треугольник со стороной $\frac{p}{3}$.

Дан равнобедренный треугольник с периметром $p$. Нужно найти такие размеры его сторон, при которых площадь будет максимальной.

Шаг 1: Введение переменных

Обозначим:

• $x$ — длина боковой стороны (две одинаковые),
• $a$ — длина основания,
• $p$ — периметр треугольника:$$p=x+x+a=2x+a\mathrm{.}$$

Отсюда выражаем основание $a$ через $x$ и $p$:

$$a=p-2x\mathrm{.}$$

Шаг 2: Формула площади треугольника

Площадь треугольника равна:

$$S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h,$$

где:

• $a$ — основание,
• $h$ — высота, проведённая к основанию.

Шаг 3: Нахождение высоты $h$ по теореме Пифагора

В равнобедренном треугольнике высота $h$, проведённая к основанию $a$, делит его пополам, и получается прямоугольный треугольник с:

• гипотенузой $x$ (боковая сторона),
• катетами $h$ и $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора:

$$x^2=h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2\Rightarrow h=\sqrt{x^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}\mathrm{.}$$

Теперь подставим $a=p-2x$:

$$h=\sqrt{x^2-{\left(\frac{p-2x}{2}\right)}^2}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Упрощение выражения для $h$

Преобразуем:

$$h=\sqrt{x^2-\frac{(p-2x{)}^2}{4}}\mathrm{.}$$

Вычислим числитель подкоренного выражения:

$$(p-2x{)}^2=p^2-4px+4x^2\mathrm{.}$$

Тогда:

$$h=\sqrt{x^2-\frac{p^2-4px+4x^2}{4}}=\sqrt{\frac{4x^2-(p^2-4px+4x^2)}{4}}\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$4x^2-p^2+4px-4x^2=4px-p^2\mathrm{.}$$

Итак:

$$h=\sqrt{\frac{4px-p^2}{4}}=\frac{\sqrt{4px-p^2}}{2}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Подставим $a$ и $h$ в формулу площади

$$S(x)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot (p-2x)\cdot \frac{\sqrt{4px-p^2}}{2}\mathrm{.}$$

Перемножим:

$$S(x)=\frac{1}{4}\cdot (p-2x)\cdot \sqrt{4px-p^2}\mathrm{.}$$

Шаг 6: Находим производную $S^{\mathrm{\prime }}(x)$

Это производная произведения двух функций:

• первая: $u(x)=p-2x$,
• вторая: $v(x)=\sqrt{4px-p^2}$.

Применим правило производной произведения:

$$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{4}\cdot (u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x))\mathrm{.}$$

Найдём производные:

$u^{\mathrm{\prime }}(x)=-2$

$v(x)=\sqrt{4px-p^2}$

Применим цепное правило:

$$v^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2\sqrt{4px-p^2}}\cdot \frac{d}{dx}(4px-p^2)=\frac{1}{2\sqrt{4px-p^2}}\cdot 4p=\frac{2p}{\sqrt{4px-p^2}}\mathrm{.}$$

Теперь соберём всё в одну формулу:

$$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{4}[(-2)\cdot \sqrt{4px-p^2}+(p-2x)\cdot \frac{2p}{\sqrt{4px-p^2}}]\mathrm{.}$$

Вынесем общий знаменатель:

$$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{4}\cdot (-2\cdot \sqrt{4px-p^2}+\frac{2p(p-2x)}{\sqrt{4px-p^2}})\mathrm{.}$$

Сократим:

$$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}\cdot (-\sqrt{4px-p^2}+\frac{p(p-2x)}{\sqrt{4px-p^2}})\mathrm{.}$$

Объединим всё под одним знаменателем:

$$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{-(4px-p^2)+p(p-2x)}{\sqrt{4px-p^2}}\right)\mathrm{.}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$p(p-2x)=p^2-2px\mathrm{.}$$$$-(4px-p^2)=-4px+p^2\mathrm{.}$$

Складываем:

$$-4px+p^2+p^2-2px=2p^2-6px\mathrm{.}$$

Итак:

$$S^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2p^2-6px}{2\sqrt{4px-p^2}}\mathrm{.}$$

Вынесем $p$ за скобки:

$$S^{\mathrm{\prime }}(x)=p\cdot \frac{p-3x}{\sqrt{4px-p^2}}\mathrm{.}$$

Шаг 7: Найдём точку максимума

Ищем, когда $S^{\mathrm{\prime }}(x)=0$:

$$p\cdot \frac{p-3x}{\sqrt{4px-p^2}}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю (знаменатель ≠ 0).

$$p-3x=0\Rightarrow x=\frac{p}{3}\mathrm{.}$$

Шаг 8: Проверим знак производной

Чтобы убедиться, что это точка максимума, посмотрим на знак производной:

• если $x<\frac{p}{3}$, то $p-3x>0\Rightarrow S^{\mathrm{\prime }}(x)>0$,
• если $x>\frac{p}{3}$, то $p-3x<0\Rightarrow S^{\mathrm{\prime }}(x)<0$.

То есть, производная меняет знак с плюса на минус, значит в точке $x=\frac{p}{3}$ — максимум.

Шаг 9: Найдём соответствующее основание $a$

$$a=p-2x=p-2\cdot \frac{p}{3}=p-\frac{2p}{3}=\frac{p}{3}\mathrm{.}$$

Шаг 10: Ответ

При максимальной площади все три стороны равны:

• $x=\frac{p}{3}$ — боковая,
• $a=\frac{p}{3}$ — основание.

То есть треугольник равносторонний со стороной $\frac{p}{3}$.

Ответ:

Равносторонний треугольник со стороной $\frac{p}{3}$.