ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 404 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство:

1. log1/3(2^(x+2) — 4x) > =-2;
2. log1/корень 5(6^(x+1) — 36x) > =-2.

1) $\log_{\frac{1}{3}}(2^{x+2} — 4^x) \geq -2$

$$\log_{\frac{1}{3}}(2^{x+2} — 4^x) \geq \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{3}\right)^{-2};$$ $$2^{x+2} — 4^x \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-2};$$ $$2^{x+2} — 4^x \leq 3^2;$$ $$2^x \cdot 2^2 — 2^{2x} \leq 9;$$ $$4 \cdot 2^x — 2^{2x} \leq 9;$$ $$2^{2x} — 4 \cdot 2^x + 9 \geq 0;$$

Пусть $y = 2^x$, тогда:

$$y^2 — 4 y + 9 \geq 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 9 = 16 — 36 = -20 < 0;$$

$a = 1 > 0$, значит $y$ — любое число;

Выражение имеет смысл при:

$$2^{x+2} — 4^x \geq 0;$$ $$2^x \cdot 2^2 — 2^{2x} \geq 0;$$ $$2^x (4 — 2^x) > 0;$$ $$4 — 2^x > 0;$$ $$2^x < 4;$$ $$2^x < 2^2, \text{отсюда } x < 2;$$

Ответ: $x < 2$.

2) $\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1} — 36^x) \geq -2$

$$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1} — 36^x) \geq \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2};$$ $$6^{x+1} — 36^x \leq \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2};$$ $$6^{x+1} — 36^x \leq (\sqrt{5})^2;$$ $$6^x \cdot 6 — 6^{2x} \leq 5;$$ $$6 \cdot 6^x — 6^{2x} \leq 5;$$ $$6^{2x} — 6 \cdot 6^x + 5 \geq 0;$$

Пусть $y = 6^x$, тогда:

$$y^2 — 6 y + 5 \geq 0;$$ $$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;$$ $$(y — 1)(y — 5) \geq 0;$$ $$y \leq 1 \quad \text{и} \quad y \geq 5;$$

Первое значение:

$$6^x \leq 1;$$ $$6^x \leq 6^0, \text{отсюда } x \leq 0;$$

Второе значение:

$$6^x \geq 5;$$ $$\log_6 6^x \geq \log_6 5, \text{отсюда } x \geq \log_6 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$6^{x+1} — 36^x > 0;$$ $$6^x \cdot 6 — 6^{2x} > 0;$$ $$6^x (6 — 6^x) > 0;$$ $$6 — 6^x > 0;$$ $$6^x < 6, \text{отсюда } x < 1;$$

Ответ: $x \leq 0; \quad \log_6 5 \leq x < 1$.

Задача 1

$$\log_{\frac{1}{3}}(2^{x+2} — 4^x) \geq -2$$

Шаг 1. Определяем область определения логарифма.

Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$2^{x+2} — 4^x > 0.$$

Шаг 2. Перепишем выражение, учитывая, что $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$:

$$2^{x+2} — 2^{2x} > 0.$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель $2^x$:

$$2^x \cdot 2^2 — 2^{2x} = 2^x \cdot 4 — (2^x)^2 = 2^x (4 — 2^x) > 0.$$

Шаг 4. Анализируем знак произведения:

• $2^x > 0$ для всех $x$,
• Следовательно, знак зависит от $4 — 2^x$.

Требуется:

$$4 — 2^x > 0,$$

то есть

$$2^x < 4.$$

Шаг 5. Выражаем через степень двойки:

$$2^x < 2^2 \implies x < 2.$$

Шаг 6. Теперь перейдём к исходному неравенству:

$$\log_{\frac{1}{3}}(2^{x+2} — 4^x) \geq -2.$$

Шаг 7. Перепишем правую часть:

$$-2 = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\right),$$

поскольку по определению логарифма:

$$\log_a b = c \iff b = a^c,$$

а значит

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9.$$

Шаг 8. Тогда неравенство эквивалентно:

$$\log_{\frac{1}{3}}(2^{x+2} — 4^x) \geq \log_{\frac{1}{3}} 9.$$

Шаг 9. Основание логарифма $\frac{1}{3}$ — число между 0 и 1, логарифм убывающая функция.

Для убывающей функции знак неравенства меняется при переходе от логарифмов к аргументам:

$$2^{x+2} — 4^x \leq 9.$$

Шаг 10. Запишем:

$$2^{x+2} — 4^x \leq 9.$$

Шаг 11. Используем замену $4^x = 2^{2x}$:

$$2^{x+2} — 2^{2x} \leq 9.$$

Шаг 12. Вынесем $2^x$:

$$4 \cdot 2^x — (2^x)^2 \leq 9.$$

Шаг 13. Обозначим:

$$y = 2^x > 0,$$

тогда

$$4 y — y^2 \leq 9.$$

Шаг 14. Приведём к стандартному виду:

$$-y^2 + 4 y — 9 \leq 0,$$

или

$$y^2 — 4 y + 9 \geq 0.$$

Шаг 15. Решаем квадратное неравенство $y^2 — 4 y + 9 \geq 0$:

Дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 — 36 = -20 < 0.$$

Шаг 16. Так как дискриминант меньше нуля, парабола не пересекает ось $y$.

Поскольку коэффициент при $y^2$ положительный ($a = 1$), график параболы направлен вверх.

Следовательно, выражение $y^2 — 4 y + 9$ всегда положительно для всех $y$.

Шаг 17. Значит неравенство выполняется при всех $y$.

Учитывая область определения из шага 4:

$$x < 2.$$

Ответ:

$$\boxed{x < 2}.$$

Задача 2

$$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1} — 36^x) \geq -2.$$

Шаг 1. Определяем область определения аргумента логарифма:

$$6^{x+1} — 36^x > 0.$$

Шаг 2. Запишем $36^x = (6^2)^x = 6^{2x}$:

$$6^{x+1} — 6^{2x} > 0.$$

Шаг 3. Вынесем $6^x$:

$$6^x \cdot 6 — (6^x)^2 > 0,$$

то есть

$$6^x (6 — 6^x) > 0.$$

Шаг 4. Так как $6^x > 0$ всегда, условие сводится к

$$6 — 6^x > 0,$$

то есть

$$6^x < 6.$$

Шаг 5. Перепишем:

$$6^x < 6^1 \implies x < 1.$$

Шаг 6. Перепишем исходное неравенство, используя свойства логарифмов:

$$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+1} — 36^x) \geq -2.$$

Шаг 7. Правую часть можно представить в виде:

$$-2 = \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} \left( \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2} \right),$$

поскольку

$$\log_a a^c = c.$$

Шаг 8. Вычислим:

$$\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2} = (\sqrt{5})^{2} = 5.$$

Шаг 9. Тогда неравенство:

$$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (6^{x+1} — 36^x) \geq \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} 5.$$

Шаг 10. Основание $\frac{1}{\sqrt{5}}$ лежит в интервале $(0, 1)$, значит логарифмическая функция убывает.

Поэтому знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный:

$$6^{x+1} — 36^x \leq 5.$$

Шаг 11. Используя замену $36^x = 6^{2x}$, получаем:

$$6 \cdot 6^x — 6^{2x} \leq 5.$$

Шаг 12. Введём замену:

$$y = 6^x > 0,$$

тогда

$$6 y — y^2 \leq 5,$$

или

$$-y^2 + 6 y — 5 \leq 0,$$

что эквивалентно

$$y^2 — 6 y + 5 \geq 0.$$

Шаг 13. Решаем квадратное неравенство:

Дискриминант:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.$$

Шаг 14. Находим корни:

$$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5.$$

Шаг 15. Парабола $y^2 — 6 y + 5$ направлена вверх, значит неравенство

$$y^2 — 6 y + 5 \geq 0$$

выполняется при

$$y \leq 1 \quad \text{или} \quad y \geq 5.$$

Шаг 16. Возвращаемся к переменной $x$:

• $y = 6^x \leq 1 \implies 6^x \leq 6^0 \implies x \leq 0.$
• $y = 6^x \geq 5 \implies x \geq \log_6 5.$

Шаг 17. Не забываем учитывать область определения $x < 1$ из шага 5.

Шаг 18. Итоговое решение по области:

$$x \leq 0 \quad \text{или} \quad \log_6 5 \leq x < 1.$$

Ответ:

$$\boxed{ x \leq 0; \quad \log_6 5 \leq x < 1. }$$