ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 646 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения а, при которых уравнением 4 sin2 х + 2 (а — 3) cos х + 3а — 4 = О имеет корни, и решить это уравнение.

$$4 \sin^2 x + 2(a — 3) \cos x + 3a — 4 = 0;$$

Упростим выражение:

$$4(1 — \cos^2 x) + 2(a — 3) \cos x + 3a — 4 = 0;$$ $$4 — 4 \cos^2 x + 2(a — 3) \cos x + 3a — 4 = 0;$$ $$4 \cos^2 x — 2(a — 3) \cos x — 3a = 0;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$4y^2 — 2(a — 3)y — 3a = 0;$$

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = 4(a — 3)^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3a;$$ $$D = 4a^2 — 24a + 9 + 48a = 4a^2 + 24a + 9 = 4(a + 3)^2;$$

Теперь решим квадратное уравнение для $y$:

$$y = \frac{2(a — 3) \pm 2(a + 3)}{2 \cdot 4} = \frac{a — 3 \pm (a + 3)}{4};$$

Найдем два корня:

$$y_1 = \frac{a — 3 — (a + 3)}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2};$$ $$y_2 = \frac{a — 3 + a + 3}{4} = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2};$$

Первое уравнение:

$$\cos x = -\frac{3}{2} \quad \text{нет корней};$$

Второе уравнение:

$$\cos x = \frac{a}{2};$$

Для того чтобы $\cos x = \frac{a}{2}$ имел решение, должно выполняться неравенство:

$$\left| \frac{a}{2} \right| \leq 1, \quad \text{отсюда } |a| \leq 2;$$

Таким образом, $x$ можно выразить как:

$$x = \pm \arccos \frac{a}{2} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$|a| \leq 2; \quad x = \pm \arccos \frac{a}{2} + 2\pi n.$$ $$\boxed{|a| \leq 2; \quad x = \pm \arccos \frac{a}{2} + 2\pi n}$$

Задача:

Найти $x$ при условии:

$$4 \sin^2 x + 2(a — 3) \cos x + 3a — 4 = 0.$$

1. Преобразование уравнения

Мы начинаем с исходного уравнения:

$$4 \sin^2 x + 2(a — 3) \cos x + 3a — 4 = 0.$$

Шаг 1: Подставим $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 — \cos^2 x$, чтобы выразить $\sin^2 x$ через $\cos x$:

$$4(1 — \cos^2 x) + 2(a — 3) \cos x + 3a — 4 = 0.$$

Шаг 2: Раскроем скобки и упростим

Теперь раскроем скобки:

$$4 — 4 \cos^2 x + 2(a — 3) \cos x + 3a — 4 = 0.$$

Сначала заметим, что $+4$ и $-4$ сокращаются:

$$-4 \cos^2 x + 2(a — 3) \cos x + 3a = 0.$$

Шаг 3: Переносим все в одну сторону

Теперь у нас уравнение вида:

$$4 \cos^2 x — 2(a — 3) \cos x — 3a = 0.$$

Мы получаем квадратичное уравнение относительно $\cos x$. Для удобства введем замену: $y = \cos x$.

Шаг 4: Подставляем $y$

Подставляем $y$ вместо $\cos x$:

$$4y^2 — 2(a — 3)y — 3a = 0.$$

Теперь это стандартное квадратичное уравнение относительно $y$. Чтобы решить его, будем использовать формулу для дискриминанта.

2. Решение квадратного уравнения

Шаг 5: Вычисляем дискриминант

Для квадратного уравнения $Ay^2 + By + C = 0$, дискриминант $D$ рассчитывается по формуле:

$$D = B^2 — 4AC.$$

В нашем уравнении $A = 4$, $B = -2(a — 3)$, $C = -3a$. Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = [-2(a — 3)]^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3a).$$

Выполним вычисления:

$$D = 4(a — 3)^2 + 48a.$$

Раскроем скобки:

$$D = 4(a^2 — 6a + 9) + 48a.$$

Теперь упростим:

$$D = 4a^2 — 24a + 36 + 48a.$$

Собираем подобные:

$$D = 4a^2 + 24a + 36.$$

Заметим, что можно выделить полный квадрат:

$$D = 4(a + 3)^2.$$

Шаг 6: Находим корни уравнения

Теперь, зная дискриминант, можем найти корни квадратного уравнения:

$$y = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}.$$

Подставим значения $B = -2(a — 3)$, $D = 4(a + 3)^2$, $A = 4$:

$$y = \frac{-[-2(a — 3)] \pm \sqrt{4(a + 3)^2}}{2 \cdot 4}.$$

Упростим:

$$y = \frac{2(a — 3) \pm 2(a + 3)}{8}.$$

Теперь вычислим два возможных значения для $y$:

Первое значение:

$$y_1 = \frac{2(a — 3) — 2(a + 3)}{8} = \frac{2a — 6 — 2a — 6}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}.$$

Это значение не подходит, так как $\cos x$ не может быть меньше -1. Поэтому для $y_1$ корней нет.

Второе значение:

$$y_2 = \frac{2(a — 3) + 2(a + 3)}{8} = \frac{2a — 6 + 2a + 6}{8} = \frac{4a}{8} = \frac{a}{2}.$$

3. Условия для $a$

Значение $y_2 = \frac{a}{2}$ должно лежать в интервале $[-1, 1]$, так как $\cos x$ принимает значения только в этом интервале. Таким образом:

$$-1 \leq \frac{a}{2} \leq 1.$$

Умножив все неравенства на 2, получаем:

$$-2 \leq a \leq 2.$$

Итак, $|a| \leq 2$.

4. Нахождение $x$

Теперь, когда мы нашли, что $|a| \leq 2$, найдем $x$. Из уравнения $\cos x = \frac{a}{2}$ получаем:

$$x = \pm \arccos \frac{a}{2} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число.

Ответ:

$$|a| \leq 2; \quad x = \pm \arccos \frac{a}{2} + 2\pi n.$$ $$\boxed{|a| \leq 2; \quad x = \pm \arccos \frac{a}{2} + 2\pi n.}$$