ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1492 Алимов — Подробные Ответы

Написать уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке с абсциссой x0:

1. f(x) =3/4x корень x, x0=1/4;
2. f(x) = 2×4-x2+4, x0=-1.

Уравнение касательной в точке $a$:
$y = f(a) + f'(a)(x — a);$

1) $f(x) = \frac{3}{4x\sqrt{x}}$ и $x_0 = \frac{1}{4}$;

$f'(x) = \left( \frac{3}{4x\sqrt{x}} \right)’ = \frac{3}{4} \left( x^{-\frac{3}{2}} \right)’ = \frac{3}{4} \cdot \left( -\frac{3}{2} x^{-\frac{5}{2}} \right) = -\frac{9}{8x^2\sqrt{x}};$

$f’\left( \frac{1}{4} \right) = -\frac{9}{8 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}} = -\frac{9}{8 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2}} = -\frac{9}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = -36;$

$f\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{3}{1 \cdot \frac{1}{2}} = 6;$

$y = 6 — 36 \left( x — \frac{1}{4} \right) = 6 — 36x + 9 = 15 — 36x;$

Ответ: $y = 15 — 36x$.

2) $f(x) = 2x^4 — x^2 + 4$ и $x_0 = -1$;

$f'(x) = 2(x^4)’ — (x^2)’ + (4)’ = 2 \cdot 4x^3 — 2x + 0 = 8x^3 — 2x;$

$f'(-1) = 8 \cdot (-1)^3 — 2 \cdot (-1) = -8 + 2 = -6;$

$f(-1) = 2 \cdot (-1)^4 — (-1)^2 + 4 = 2 — 1 + 4 = 5;$

$y = 5 — 6(x + 1) = 5 — 6x — 6 = -1 — 6x;$

Ответ: $y = -1 — 6x$.

Основная формула касательной

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = a$ имеет вид:

$$y = f(a) + f'(a)(x — a)$$

Где:

• $f(a)$ — значение функции в точке касания;
• $f'(a)$ — производная (угловой коэффициент касательной) в точке касания;
• $x$ — переменная (остается в уравнении касательной);
• $y$ — значение касательной в точке $x$.

Задание 1

Дано:

$$f(x) = \frac{3}{4x\sqrt{x}} \quad \text{и} \quad x_0 = \frac{1}{4}$$

Шаг 1. Перепишем функцию в степенном виде:

$$f(x) = \frac{3}{4x\sqrt{x}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x \cdot x^{1/2}} = \frac{3}{4} \cdot x^{-3/2}$$

Шаг 2. Найдём производную

Используем формулу производной степенной функции:

$$\frac{d}{dx} [x^n] = n x^{n — 1}$$ $$f'(x) = \left( \frac{3}{4} x^{-3/2} \right)’ = \frac{3}{4} \cdot \left( -\frac{3}{2} x^{-5/2} \right) = -\frac{9}{8} x^{-5/2}$$

Вернёмся к дробно-корневому виду:

$$f'(x) = -\frac{9}{8x^2\sqrt{x}}$$

Шаг 3. Вычислим значение производной в точке $x = \frac{1}{4}$

$$f’\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{9}{8 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}}$$

Считаем по частям:

• $\left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$
• $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
• $8 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$$f’\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{9}{\frac{1}{4}} = -36$$

Шаг 4. Вычислим значение функции в точке $x = \frac{1}{4}$

$$f\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}}$$

Считаем:

• $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$
• $\sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$
• $\frac{3}{1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{\frac{1}{2}} = 6$

$$f\left(\frac{1}{4}\right) = 6$$

Шаг 5. Запишем уравнение касательной

$$y = f(a) + f'(a)(x — a) = 6 + (-36)(x — \tfrac{1}{4})$$

Раскроем скобки:

$$y = 6 — 36x + 9 = 15 — 36x$$

Ответ 1:

$$\boxed{y = 15 — 36x}$$

Задание 2

Дано:

$$f(x) = 2x^4 — x^2 + 4, \quad x_0 = -1$$

Шаг 1. Найдём производную

$$f'(x) = (2x^4)’ — (x^2)’ + (4)’ = 2 \cdot 4x^3 — 2x + 0 = 8x^3 — 2x$$

Шаг 2. Вычислим производную в точке $x = -1$

$$f'(-1) = 8 \cdot (-1)^3 — 2 \cdot (-1) = -8 + 2 = -6$$

Шаг 3. Найдём значение функции в точке $x = -1$

$$f(-1) = 2 \cdot (-1)^4 — (-1)^2 + 4 = 2 \cdot 1 — 1 + 4 = 2 — 1 + 4 = 5$$

Шаг 4. Запишем уравнение касательной

$$y = f(-1) + f'(-1)(x — (-1)) = 5 + (-6)(x + 1)$$

Раскроем скобки:

$$y = 5 — 6x — 6 = -6x — 1$$

Ответ 2:

$$\boxed{y = -1 — 6x}$$