ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 917 Алимов — Подробные Ответы

Построить эскиз графика непрерывной функции у = f (х), определённой на отрезке [а; b], если:

1. а = -1, b = 7, f(-1) = 0, f(7) = -2, f'(x) > 0 при -1 < х < 4, f'(x) < 0 при 4 < х < 7, f'(4) = 0;
2. а = -5, 6 = 4, f(-5) = 1, f(4) = -3, f'(x) < 0 при -5 < х < -1, f'(x) > 0 при -1 < х < 4, f'(-1) = 0.

Эскиз графика непрерывной функции, определенной на отрезке $[a; b]$:

$a = -1$, $b = 7$, $f(-1) = 0$, $f(7) = -2$, $f'(4) = 0$;
$f'(x) > 0$ при $-1 < x < 4$, $f'(x) < 0$ при $4 < x < 7$;

$a = -5$, $b = 4$, $f(-5) = 1$, $f(4) = -3$, $f'(-1) = 0$;
$f'(x) < 0$ при $-5 < x < -1$, $f'(x) > 0$ при $-1 < x < 4$;

Для решения задачи, связанной с графиками непрерывной функции, необходимо рассмотреть различные свойства функции на отрезке $[a, b]$, а также поведение её производной. Рассмотрим подробное решение по каждому из пунктов.

1. Первый график: $a = -1$, $b = 7$, $f(-1) = 0$, $f(7) = -2$, $f'(4) = 0$;

$f'(x) > 0$ при $-1 < x < 4$, $f'(x) < 0$ при $4 < x < 7$.

1.1. Анализ значений функции на отрезке $[a, b]$

• Функция задана на отрезке $[a, b]$ с $a = -1$ и $b = 7$.
• Важно, что на этом отрезке функция принимает значения:
  • $f(-1) = 0$ — значение функции в начале отрезка.
  • $f(7) = -2$ — значение функции в конце отрезка.

1.2. Исследование производной

• Производная $f'(x)$ указывает на наклон касательной к графику функции.
• Из условия $f'(4) = 0$ следует, что на $x = 4$ касательная к графику функции горизонтальна (то есть, на этой точке функция имеет локальный экстремум — минимум или максимум).
• Также, из условия $f'(x) > 0$ при $-1 < x < 4$, мы можем сделать вывод, что функция возрастает на интервале $(-1, 4)$. Это означает, что значение функции $f(x)$ на отрезке от $-1$ до $4$ увеличивается.
• Условие $f'(x) < 0$ при $4 < x < 7$ указывает, что на интервале $(4, 7)$ функция убывает, то есть её значение уменьшается.

1.3. Поведение функции и график

• Функция начинается с $f(-1) = 0$, растёт до некоторого максимума, который достигается в точке $x = 4$, где производная равна нулю (горизонтальная касательная).
• После точки $x = 4$ функция начинает убывать, и на конце отрезка, в точке $x = 7$, значение функции равно $f(7) = -2$.

2. Второй график: $a = -5$, $b = 4$, $f(-5) = 1$, $f(4) = -3$, $f'(-1) = 0$;

$f'(x) < 0$ при $-5 < x < -1$, $f'(x) > 0$ при $-1 < x < 4$.

2.1. Анализ значений функции на отрезке $[a, b]$

• Функция задана на отрезке $[a, b]$ с $a = -5$ и $b = 4$.
• Важные точки:
  • $f(-5) = 1$ — значение функции в начале отрезка.
  • $f(4) = -3$ — значение функции в конце отрезка.

2.2. Исследование производной

• Условие $f'(-1) = 0$ указывает, что в точке $x = -1$ функция имеет экстремум (минимум или максимум), так как касательная к графику функции горизонтальна.
• Из условия $f'(x) < 0$ при $-5 < x < -1$ следует, что функция убывает на интервале $(-5, -1)$. Значение функции уменьшается на этом интервале.
• Условие $f'(x) > 0$ при $-1 < x < 4$ означает, что на интервале $(-1, 4)$ функция возрастает, то есть её значение увеличивается.

2.3. Поведение функции и график

• Функция начинается с $f(-5) = 1$, убывает на интервале $(-5, -1)$, достигая минимума в точке $x = -1$.
• После точки $x = -1$ функция начинает возрастать и продолжает увеличиваться до точки $x = 4$, где её значение равно $f(4) = -3$.

Итоговый анализ

1. В первом случае, на отрезке $[-1, 7]$, функция возрастает до $x = 4$, а затем начинает убывать. Это соответствуют всем условиям задачи, включая значения функции в точках и производной.
2. Во втором случае, на отрезке $[-5, 4]$, функция убывает до точки $x = -1$, после чего начинает возрастать до $x = 4$. Также все условия задачи выполнены.

Графики

На графиках это будет выглядеть следующим образом:

• На первом графике $f(x)$ начинает с $0$, возрастает до максимума в точке $x = 4$, а затем убывает до $-2$.
• На втором графике $f(x)$ начинается с $1$, убывает до минимума в точке $x = -1$, а затем возрастает до $-3$.