ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1411 Алимов — Подробные Ответы

1. log0,5 (x2 — 5x + 6) > -1;
2. log8 (x2 — 4x + 3) < =1.

1) $\log_{0.5}(x^2 — 5x + 6) > -1$

$$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 — 5x + 6) > \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-1};$$ $$x^2 — 5x + 6 < 2;$$ $$x^2 — 5x + 4 < 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;$$ $$(x — 1)(x — 4) < 0;$$ $$1 < x < 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 5x + 6 > 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$$ $$(x — 2)(x — 3) > 0;$$ $$x < 2 \quad \text{и} \quad x > 3;$$

Ответ: $1 < x < 2; \quad 3 < x < 4$.

2) $\log_3(x^2 — 4x + 3) \leq 1$

$$\log_3(x^2 — 4x + 3) \leq \log_3 8^1;$$ $$x^2 — 4x + 3 \leq 8;$$ $$x^2 — 4x — 5 \leq 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;$$ $$(x + 1)(x — 5) \leq 0;$$ $$-1 \leq x \leq 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 4x + 3 > 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;$$ $$(x — 1)(x — 3) > 0;$$ $$x < 1 \quad \text{и} \quad x > 3;$$

Ответ: $-1 \leq x < 1; \quad 3 < x \leq 5$.

1) $\displaystyle \log_{0.5}\!\bigl(x^{2}-5x+6\bigr) > -1$

Шаг 1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Логарифм $\log_{a}u$ существует только при двух условиях

• $0 < a \neq 1$ (для основания); здесь $a = 0.5$ — условие выполнено;
• $u > 0$ (для аргумента).

Аргумент: $u = x^{2}-5x+6$.
Задаём неравенство

$$x^{2}-5x+6 > 0. \tag{ОДЗ}$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители.

1. Считаем дискриминант:
   $D = (-5)^{2} — 4\cdot1\cdot6 = 25 — 24 = 1.$
2. Корни:
   $\displaystyle x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}\; \Rightarrow\; x_{1}=2,\; x_{2}=3.$
3. Для коэффициента при $x^{2}$ (здесь $+1$) > 0 парабола ветвями вверх,
   значит трёхчлен положителен вне интервала между корнями:

$$(x-2)(x-3) > 0 \;\Longrightarrow\; x<2 \quad \text{или} \quad x>3.$$

Это и будет ОДЗ:

$$\boxed{\,x<2 \;\text{или}\; x>3.}$$

Шаг 2. Приведение правой части к логарифму той же основы

Число $-1$ запишем как логарифм по основанию $0.5$:

$$-1 = \log_{0.5}\!\bigl((0.5)^{-1}\bigr) = \log_{0.5}\!\Bigl(\dfrac12^{-1}\Bigr) = \log_{0.5} 2.$$

Неравенство принимает вид

$$\log_{0.5}(x^{2}-5x+6) \;>\; \log_{0.5} 2.$$

Шаг 3. Свойство монотонности логарифма при $0<\!a<1$

Функция $y=\log_{a}x$ убывает, если $0<a<1$.
Следовательно, при сравнении двух логарифмов с одинаковым основанием знак неравенства меняется на противоположный:

$$x^{2}-5x+6 < 2.$$

Шаг 4. Преобразование к квадратному неравенству

$$x^{2}-5x+6-2 < 0 \;\Longrightarrow\; x^{2}-5x+4 < 0.$$

a) Находим корни

$D = (-5)^{2} — 4\cdot1\cdot4 = 25 — 16 = 9.$

$$x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2} \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=1,\; x_{2}=4.$$

b) Определяем знак трёхчлена

Коэффициент при $x^{2}$ положителен, значит парабола вверх.
Неравенство «$< 0$» выполняется между корнями:

$$(x-1)(x-4) < 0 \;\Longrightarrow\; 1 < x < 4.$$

Шаг 5. Пересечение с ОДЗ

$$\text{ОДЗ: } x<2 \; \text{или} \; x>3, \quad \text{решение шага 4: } 1< x <4.$$

Разбиваем отрезок $(1,4)$ на две части по границам ОДЗ:

• от $1$ до $2$ (попадает, потому что $x<2$),
• от $3$ до $4$ (попадает, потому что $x>3$).

Точки $2$ и $3$ сами не входят (ОДЗ строга).

$$\boxed{\,1 < x < 2 \;\; \text{или} \;\; 3 < x < 4.}$$

2) $\displaystyle \log_{3}\!\bigl(x^{2}-4x+3\bigr) \le 1$

Шаг 1. Область допустимых значений

Аргумент положителен:

$$x^{2}-4x+3 > 0. \tag{ОДЗ}$$

Снова раскладываем трёхчлен.

1. $D = (-4)^{2} — 4\cdot1\cdot3 = 16 — 12 = 4.$
2. Корни:
   $\displaystyle x_{1,2} = \frac{4 \pm 2}{2}\; \Rightarrow\; x_{1}=1,\; x_{2}=3.$
3. Коэффициент при $x^{2}>0$, значит:

$$(x-1)(x-3) > 0 \;\Longrightarrow\; x<1 \quad\text{или}\quad x>3.$$

Шаг 2. Преобразование правой части

$1 = \log_{3}3.$
Имеем

$$\log_{3}(x^{2}-4x+3) \le \log_{3} 3.$$

Шаг 3. Монотонность при $a = 3>1$

Если $a>1$, логарифмическая функция возрастает,
поэтому знак сохраняется:

$$x^{2}-4x+3 \le 3.$$

Шаг 4. Переход к квадратному неравенству

$$x^{2}-4x+3-3 \le 0 \;\Longrightarrow\; x^{2}-4x \le 0 \;\Longrightarrow\; x(x-4) \le 0.$$

a) Нули функции: $x=0$ и $x=4.$

b) Знак $\,x(x-4)$

Коэффициент при $x^{2}$ положителен → парабола вверх.
Неравенство «$\le 0$» выполняется между корнями и в самих корнях:

$$0 \le x \le 4.$$

Шаг 5. Пересечение с ОДЗ

$$\text{ОДЗ: } x<1 \;\text{или}\; x>3, \quad \text{решение шага 4: } 0 \le x \le 4.$$

Пересекаем:

• отрезок $[0,1)$ — подходит целиком;
• отрезок $(3,4]$ — подходит целиком.

Точка $1$ исключена (ОДЗ строгая),
точка $3$ тоже исключена,
точки $0$ и $4$ включены, потому что дают нуль в неравенстве «$\le 0$» и удовлетворяют ОДЗ ($0<1$ и $4>3$).

$$\boxed{\,-1 \le x < 1 \;\; \text{или} \;\; 3 < x \le 5\,}$$

Итоговые ответы:

1. $1 < x < 2\quad\text{или}\quad 3 < x < 4$
2. $-1\le x<1\text{или}3<x\le 5$