ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 372 Алимов — Подробные Ответы

1. 4log1/2(3)-2/3log1/2(27)-2log1/2(6);
2. 2/3lg0,001+lg корень 3 степени 1000 — 3/5lg корень 10000.

$4 \log_{\frac{1}{2}} 3 — \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} 27 — 2 \log_{\frac{1}{2}} 6 = \log_{\frac{1}{2}} 3^4 — \log_{\frac{1}{2}} 27^{\frac{2}{3}} — \log_{\frac{1}{2}} 6^2 =$

$= \log_{\frac{1}{2}} 81 — \log_{\frac{1}{2}} 3^2 — \log_{\frac{1}{2}} 36 = \log_{\frac{1}{2}} 81 — \log_{\frac{1}{2}} 9 — \log_{\frac{1}{2}} 36 =$

$= \log_{\frac{1}{2}} \frac{81}{9 \cdot 36} = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} = \log_{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2$;

2. $\frac{2}{3} \lg 0,001 + \lg \sqrt[3]{1000} — \frac{3}{5} \lg \sqrt{10000} = \frac{2}{3} \lg 10^{-3} + \lg \sqrt[3]{10^3} — \frac{3}{5} \lg \sqrt{10^4} =$

$= \frac{2}{3} \cdot (-3) + \lg 10 — \frac{3}{5} \lg 10^2 = -2 + 1 — \frac{3}{5} \cdot 2 = -1 — \frac{6}{5} = -1 — 1,2 = -2,2$

1)

$$4 \log_{\frac{1}{2}} 3 — \frac{2}{3} \log_{\frac{1}{2}} 27 — 2 \log_{\frac{1}{2}} 6$$

Шаг 1. Применим формулу $a \cdot \log_b x = \log_b x^a$

$$= \log_{\frac{1}{2}} 3^4 — \log_{\frac{1}{2}} 27^{\frac{2}{3}} — \log_{\frac{1}{2}} 6^2$$

Шаг 2. Вычислим степени:

• $3^4 = 81$
• $27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{2} = 9$
• $6^2 = 36$

$$= \log_{\frac{1}{2}} 81 — \log_{\frac{1}{2}} 9 — \log_{\frac{1}{2}} 36$$

Шаг 3. Используем свойство логарифма разности:

$$\log_b A — \log_b B — \log_b C = \log_b \left(\frac{A}{B \cdot C}\right)$$ $$= \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{81}{9 \cdot 36} \right)$$

Шаг 4. Посчитаем знаменатель:

• $9 \cdot 36 = 324$

$$= \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{81}{324} \right)$$

Шаг 5. Сократим дробь:

• $\frac{81}{324} = \frac{1}{4}$

$$= \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{4} \right)$$

Шаг 6. Представим $\frac{1}{4} = \left( \frac{1}{2} \right)^2$

$$= \log_{\frac{1}{2}} \left( \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right)$$

Шаг 7. Применим правило логарифма: $\log_b (x^a) = a \log_b x$

$$= 2 \cdot \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)$$

Шаг 8. Поймём, чему равен $\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)$:

• Это степень, в которую нужно возвести $\frac{1}{2}$, чтобы получить $\frac{1}{2}$ → ответ: $1$

$$= 2 \cdot 1 = 2$$

Ответ к первому выражению:

$$2$$

2)

$$\frac{2}{3} \lg 0{,}001 + \lg \sqrt[3]{1000} — \frac{3}{5} \lg \sqrt{10000}$$

Шаг 1. Представим числа как степени десяти:

• $0{,}001 = 10^{-3}$
• $\sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 10^1$
• $\sqrt{10000} = \sqrt{10^4} = 10^{4 \cdot \frac{1}{2}} = 10^2$

Шаг 2. Заменим все логарифмы:

$$= \frac{2}{3} \cdot \lg(10^{-3}) + \lg(10^1) — \frac{3}{5} \cdot \lg(10^2)$$

Шаг 3. Применим правило $\lg(10^a) = a$:

• $\lg(10^{-3}) = -3$
• $\lg(10^1) = 1$
• $\lg(10^2) = 2$

$$= \frac{2}{3} \cdot (-3) + 1 — \frac{3}{5} \cdot 2$$

Шаг 4. Выполним умножения:

• $\frac{2}{3} \cdot (-3) = -2$
• $\frac{3}{5} \cdot 2 = \frac{6}{5} = 1{,}2$

$$= -2 + 1 — 1{,}2$$

Шаг 5. Последовательно сложим:

• $-2 + 1 = -1$
• $-1 — 1{,}2 = -2{,}2$

Ответ ко второму выражению:

$$-2{,}2$$

Окончательные ответы:

1. $2$
2. $-2{,}2$